Aufgaben zu Ebenen

Hallo!

Wenn Du tatsächlich KEINE Ahnung von dem Stoff hast, bezweifle ich, dass Du die Aufgaben entsprechend schlüssig vorstellen kannst, ohne dass ein Lehrer/Prüfer das merkt. Da ich aber keine moralische Instanz bin, und Du alt genug bist, um zu wissen, worauf es ankommt, werde ich mal ein wenig helfen. Wesentlich ist, dass Du nichts in irgendeiner Form auswendig lernst, sondern versuchst, Aufgaben selbst zu lösen und zu verstehen. Aber wie gesagt: hier ist nicht die Telefonseelsorge, sondern ein Matheforum. Konzentrieren wir uns also auf Mathe:

1.)

a) Aus der Koordinatengleichung von E kannst Du direkt einen Normalenvektor der Ebene ablesen. Wie der Name sagt, ist dieser Vektor orthogonal zu E. Damit eignet er sich bestens als Richtungsvektor von g. Als Aufhängepunkt dieser Geraden bietet sich Q an, sodass wir direkt die Gerade angeben können (dies ist wirklich elementar - solche Zusammenhänge musst Du lernen!):

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\\ -11\end{array}\right)}$

b)

Normalerweise würde sich jetzt empfehlen, den Durchstoßpunkt von g durch E zu ermitteln. D.h. Du setzt die Koordinaten dieses Punktes mit der Parametergleichung von g allgemein an und setzt diese Koordinaten in die Gleichung von E ein. Gemein, gemein: Wenn Du mal den Punkt Q in die Ebenengleichung einsetzt, wirst Du sehen, dass er diese bereits erfüllt - d.h. Q selbst ist der Durchstoßpunkt von g durch E. Das ist natürlich nicht immer so!

Demzufolge brauchen wir die beiden Punkte auf g, die von Q den Abstand 3 haben. Dazu ermitteln wir zunächst den Betrag des Normalenvektors:

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|=\sqrt{{10}^2+2^2+{(-11)}^2}=\sqrt{225}=15}$

Damit lautet der normierte Normalenvektor (dieser hat die Länge 1!):

${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}=\frac{1}{15}\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\\ -11\end{array}\right)}$

Also kommen wir auf die beiden gesuchten Punkte, indem wir von Q ausgehend diesen Vektor mit 3 multiplizieren und einmal addieren, einmal subtrahieren (auf beiden Seiten der Ebene gibt es ja so einen Punkt!):

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+3\cdot \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\\ 2\end{array}\right)+\frac{3}{15}\cdot \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\\ -11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3+2\\ -2+\frac{2}{5}\end{array}\\ 2-\frac{11}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}5\\ -\frac{8}{5}\end{array}\\ -\frac{1}{5}\end{array}\right)}$

Und der andere Punkt entsprechend, nur mit "-" statt "+":

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}=\overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-3\cdot \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ -\frac{12}{5}\end{array}\\ \frac{21}{5}\end{array}\right)}$

So, jetzt würde ich vorschlagen, dass Du mit diesen Erkenntnissen versuchst, die zweite Aufgabe selbst zu lösen. Du kannst Deine Ergebnisse und Fragen dann gerne hier posten. Das bringt Dich weiter für Freitag.