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Aufgaben zu ZV, Verteilunsfunktionen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

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02:42 Uhr, 09.12.2014

Guten Abend, ich bins wieder! :-)

Ich habe folgende drei Aufgaben bekommen, und auch direkt versucht sie zu lösen, ich fänds toll wenn mir jemand Rückmeldungen geben könnte.

Aufgabe

1)

Skizzieren Sie jeweils die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable, die

(a)

die Lebenserwartung,

(b)

das K̈orpergewicht, bzw.

(c)

die Anzahl der unmittelbaren Nachkommen
eines durchschnittlichen Mitteleuropäers auf eine vernünftige Weise modelliert! Konzentrieren Sie sich hierbei auf eine interessante, hinreichend große, homogene Personengruppe!

Für die

a),

also die Lebenserwartung, würde ich eine Exponentialverteilung benutzen mit

λ

als Durschnittsalter. Für die

b)

würde ich eine Normalverteilung benutzen, bei der

c)

Bin ich mir nicht sicher, könnte ich hier eine Poisson-Verteilung benutzen?

Aufgabe

2)

Seien −∞<x1<x2<x3<∞ und 0<α1<α2<α3<1 .Konstruieren Sie eine Zufallsvariable

X,

so daß für alle

i = 1,2,3

jeweils

ξ

ein αi-Quantil von

X

ist!

Ehrlich gesagt stehe ich hier echt auf dem Schlauch. Ich soll also ein

X

konstruieren, so dass

z . b

. für

x 1

gilt, dass α1 Prozent der Werte, die

x 1

annehmen kann, kleiner sind als

x 1,

oder? Weiss jemand, wie man so etwas macht?

Und zu guter letzt, Aufgabe

3)

In einem Industriebetrieb seien

N

gleichartige Maschinen, die unabhängig voneinander arbeiten, in Betrieb. Stellen Sie ein einfaches, aber sinnvolles Modell für die Zeiten Tn, wobei

n = 1, . .

, N,

bis zu ihrem jeweiligen Ausfall
vor! Welche Verteilung besitzt die Zeitdauer T=min

{

Tn:n=1,

. .

, N}

bis zum ersten Ausfall einer Maschine? (Hinweis: Berechnen Sie hierzu P

[

T>s],s≥0!)

Hier würde ich damit anfangen, eine Exponentialverteilung zu benutzen, weil die Zeit bis zu dem Ausfall ja eine stetige Spanne ist. Muss ich dann für jedes

N

ein Tn basteln? Die wären doch dann alle gleich, oder? Für den ersten Ausfall einer (egal welcher) Maschine kann ich auch die Exponentialverteilung benutzen, oder?

Danke im voraus,

Aco

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:05 Uhr, 09.12.2014

"Bin ich mir nicht sicher, könnte ich hier eine Poisson-Verteilung benutzen?"

Ja. a) und b) sind auch OK.

Aufgabe 2.

Du brauchst nur eine Zufallsvariable

X

mit

P (X \leq x_{i}) = a_{i}

. Man kann dazu enfach eine diskrete Variable nehmen, mit den Werten

y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}

, wobei

y_{1} < x_{1} < y_{2} < x_{2} < y_{3} < x_{3} < y_{4}

und

P (X = y_{1}) = a_{1}

P (X = y_{2}) = a_{2} - a_{1}

P (X = y_{3}) = a_{3} - a_{2}

und

P (X = y_{4}) = 1 - a_{3}

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11:07 Uhr, 09.12.2014

"Muss ich dann für jedes Nein Tn basteln?"
Ja.

"Die wären doch dann alle gleich, oder?"

Gleichverteilt, wenn man die korrekte Ausdrucksweise nutzen will. :-)

"Für den ersten Ausfall einer (egal welcher) Maschine kann ich auch die Exponentialverteilung benutzen, oder?"

Diese Verteilung musst Du berechnen.

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14:23 Uhr, 11.12.2014

Okaayy...Also irgendwie bin ich jetzt über einige Sachen gestoßen, die mich verwirren, zu Aufgabe

1)

Ich hatte da ja eine Exponentialverteilung für die Lebensdauer genommen, mit

z . B

. dem Durchschnittsalter von

82

Jahren. Diese sieht ja so aus:

P (x) = 82 \cdot e^{(- 82) \cdot x}

...Aber, was nun? Wenn ich das skizzieren lasse, kommt dabei das hier heraus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+82*e%5E%28%28-82%29*x%29

Nur weiss ich nicht wirklich, was ich jetzt damit anfangen soll bzw. was genau das aussagt. Der Graph geht auf der x-Achse ab

0.03

gegen

0,

das ergibt irgendwie alles keinen Sinn.

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15:26 Uhr, 11.12.2014

Bei der Exponentialverteilung mit der Dichte

λ e^{- λ x}

ist

λ

nicht der Erwartungswert, sondern

1 /

Erwartungswert.

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03:00 Uhr, 13.12.2014

Okay, also ich habe jetzt für Aufgabe 1 diese Lösungen (siehe Bilder). Ist das soweit korrekt? Die Sache ist nur die, dass ich immernoch nicht ganz nachvollziehen kann, was genau der Graph nun aussagt - Kannst du mir das vielleicht nochmal erläutern?

Des weiteren habe ich Probleme, deine Lösung zu der

2)

nachzuvollziehen...Warum benutzt du genau vier

y,

nicht beliebig viele, und wie kommst du auf das was du geschrieben hast?

An der

3)

bastel ich noch :-)

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12:58 Uhr, 13.12.2014

"was genau der Graph nun aussagt - Kannst du mir das vielleicht nochmal erläutern?"

Das ist die Dichte, deshalb ist die Fläche unter dem Graph die W-keit für den entsprechenden Bereich. Bei steigendem

x

wird die Dichte immer kleiner und die W-keit für die Bereiche dort auch immer kleiner, was auch logisch ist.

"Des weiteren habe ich Probleme, deine Lösung zu der 2) nachzuvollziehen...Warum benutzt du genau vier y, nicht beliebig viele, und wie kommst du auf das was du geschrieben hast?"

Beliebig viele würden auch passen, nur warum etwas Kompliziertes konstruieren, wenn auch etwas Einfaches genügt? Vier Werte sind das einfachste, was möglich ist. Wie ich darauf komme - wie immer, ich überlege. Dafür gibt's keinen Algorithmus, wir sind Menschen, keine Roboter. :-)

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