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Aufleiten, 2 unterschiedliche Lösungen

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis, Aufleiten, Differenzialrechnung, Integration

johnny2495 aktiv_icon

17:49 Uhr, 09.03.2014

Hey, ich hab die Funktion:

f (x) = {(2 x - 5)}^{2}

und möchte diese aufleiten. Ich hab dazu im Internet eine Regel gefunden, die ähnlich wie die Kettenregel funktioniert. Und ein Integrationsrechner aus dem Internet unstützt die Lösung dabei auch. Daraus ergibt sich nämlich für

F (x) = \frac{1}{6} {(2 x - 5)}^{3}

sooo wenn ich aber aus ganz logischer Überlegung zuerst ausmultipliziere habe ich: f(x)=4x²-20x+25

\to F (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{2} + 25 x,

diese Lösung hat ein anderer Integrationsrechner allerdings auch bestätigt.

Wenn man jetzt jedoch für

x

ne beliebe Zahl

(z . b

5)

einsetzt kommen bei beiden Lösungen unterschiedliche Ergebnisse raus ?....

Rechner 1: www.calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit
Rechner 2: integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%282x-5%29%5E2&random=false

Kann mir das jemand vielleicht erklären, danke schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pleindespoir aktiv_icon

17:53 Uhr, 09.03.2014

Zu jeder Stammfunktion gehört eine Konstante. Hast Du gestrichen.

Vergleichen kann man nur bestimmte Integrale komplett und nicht nur einen der Endwerte.

johnny2495 aktiv_icon

17:54 Uhr, 09.03.2014

Dann ist

c

halt

0,

beide Aufleitungsrechner haben trotzdem unterschiedliche Ergebnisse

pleindespoir aktiv_icon

18:02 Uhr, 09.03.2014

Die beiden Lösungen unterscheiden sich um den konstanten Wert von

\frac{125}{3}

Vergleichst du zwei bestimmte Integrale gleicher Grenzen, wird das gleiche Ergebnis herauskommen.

Deine Behauptung "C wäre dann halt 0" zeigt, dass Du die Eigenschaft und Funktion der Integrationskonstante noch nicht völlig verstanden hast.

johnny2495 aktiv_icon

18:13 Uhr, 09.03.2014

Und warum haben sie dann überhaupt verschiedene Lösungen?... Und was meinst du mit dem Unterschied von

\frac{125}{3}

? Vielleicht habe ich einen Denkfehler, aber für mich macht das ganze absolut keinen Sinn

pleindespoir aktiv_icon

18:23 Uhr, 09.03.2014

Diesen Unterschied wirst Du bei jedem beliebigen Vergleich zwischen den beiden Stammfunktionen in gleicher Grösse finden. Probiers mal aus!

Beide Stammfunktionen sind richtig - sie unterscheiden sich eben nur um einen festen Zahlenwert.

Die scheinbar unterschiedlichen Lösungen entstehen durch die unterschiedlichen Lösungswege.

Bei der Lösung eines bestimmten Integrals "verschwindet" dieser Unterschied wieder:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

wird nun der Stammfunktion (des unbestimmten Integrals) ein absoluter Wert D hinzugefügt, sieht das so aus:

\int_{a}^{b} f (x) d x = (F (b) + D) - (F (a) + D)

auflösen der Klammern

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) + D - F (a) - D

sortieren

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) + D - D

D wird eliminiert

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

und eiguggeda wir haben das Gleiche raus!

johnny2495 aktiv_icon

18:49 Uhr, 09.03.2014

Das sich die konstante rauskürzt ist mir klar. Und Aufgaben mim Integral zu rechnen ist mir auch klar. Nur kommt bei mir weder jedes mal ein Unterschied von

\frac{125}{3}

raus, noch versteh ich was du mir überhaupt sagen willst .. naja Fuck it, mal hoffen, dass das abi auch so klappt, danke jedenfalls für deine Zeit

pleindespoir aktiv_icon

18:59 Uhr, 09.03.2014

Bei den hundertfünfundzwanzigdritteln hab ich mich vertippt - aber der absolute Unterschied zwischen den Stammfunktionen sollte bei jedem Wert der gleiche sein.

johnny2495 aktiv_icon

19:04 Uhr, 09.03.2014

der Unterschied ist für jede Zahl die ich für

x

einsetze unterschiedlich

pleindespoir aktiv_icon

19:09 Uhr, 09.03.2014

Dann vertippst Du Dich mit Deinem TR.

es sind

\frac{125}{6}

F (x) = ⅙ (2 x - 5)^{3}

G (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{2} + 25 x

F (x) - G (x) = - \frac{125}{6}

johnny2495 aktiv_icon

19:17 Uhr, 09.03.2014

ja ok jetzt hab ichs. Das heißt für jede Ableitung gibt's unendlich viele Aufleitungen deren Unterschied immer auf den Unterschied der beiden Konstanten zurückzuführen ist?

pleindespoir aktiv_icon

19:37 Uhr, 09.03.2014

Das liegt daran, dass die Stammfunktion beim Ableiten das absolute Glied (fester von x unabhängiger Wert) "verliert". (Ableitung einer Konstante =0)

Wenn man aus der "kastrierten" Funktion wieder die Stammfunktion gewinnen will, ist das absolute Glied nicht mehr rekonstruierbar und wird durch die Integrationskonstante dargestellt.

Wenn es unterschiedliche Wege gibt, die Stammfunktion zu ermitteln, wie bei unserem Beispiel, kann es vorkommen, dass ein absolutes Glied entsteht. Dieses wird durch eine entsprechend variierte Integrationskonstante kompensiert oder fällt beim Berechnen des bestimmten Integrals durch gegenseitige Subtraktion heraus.

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