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Aufstellen einer Differentialgleichung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: aufstellen, Differentialgleichung

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22:51 Uhr, 28.02.2011

Hey Leute, hoffe es kann jemand helfen....

Es geht um die Frage wie man eine Differentialgleichung (DGL) aufstellt, vllt kann mir das jemand anhand eines Beispiels erklären??

Wenn ich das einigermaßen richtig verstanden habe, hat man ja eine Kurvenschar (als Lösungsmenge der DGL) gegeben, aus welcher man dann irgendwie eine Differentialgleichung aufstellen kann.

Eine Kurvenschar ist ja eigentlich eine Stammfunktion, welche alle Kurven beinhaltet, bzw. durch einsetzen der Konstante

C

eine spezielle Kurve auswählen kann.

Das würde ja dann bedeuten, dass ich irgendwie auf die Funktion der Stammfunktion kommen muss und das würde ja bedeuten durch ableiten der Kurvenscharfunktion.....oder??

Also wie gesagt, würde mich über ein Beispiel, welches ggf. zusammen bearbeitet werden kann, riesig freuen!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

23:29 Uhr, 28.02.2011

deine ueberlegungen mit den kurvenscharen ist prinzipiell richtig, aber gehst du dann von der loesung aus... du moechtest ja aber bei der dgl beginnen und dann die loesung berechnen...

dgls aufstellen find ich meist sehr viel schwerer als diese zu berechnen (oder zu wissen dass man die noch nicht berechnen kann, weil die mathematik noch nicht so weit ist. man verwendet dann naeherungsverfahren)

aber es gibt natuerlich auch einfache beispiele. musterbeispiel ist der radioaktive zerfall. du schaust dir also den zerfall an und stellst fest, dass dein radioaktiver stoff langsamer zerfaellt, je weniger masse von dem zeug noch uebrig ist. die zerfallsgeschwindigkeit haengt also von der masse selber ab (proportional)... frage ist jetzt wie der funktionsverlauf aussehen muss, der mir zu jeden zeitpunkt angibt, wieviel masse ich noch uebrig habe, wenn ich am anfang einen kleinen haufen von dem zeug habe.

wie du aus den angaben entnehmen kannst, kannst du nicht mehr wie in der schule eine gleichung mit

x

aufstellen und nach

x

umstellen, um ein ergebnis zu bekommen. dann waere das ergebnis ja eine zahl. hier moechtest du nicht nur eine zahl finden, sondern eine ganze funktion. bedingungen, die diese funktion beschreiben, sind ueber zusammenhaenge mit Ableitungen (veraenderung nach der zeit) gegeben... kannst du aus diesen angaben schon eine dgl aufstellen?

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23:45 Uhr, 28.02.2011

Hey, vielen Dank schonmal!

Also wenn wir mal den radioaktiven Zerfall betrachten, dann haben wir also einen proportionalen Zerfall, was ja wieder einer Exponentialfunktion entsprechen würde, oder?
Unter einer Exponentialfunktion verstehe ich eine Funktion der Form

f (x) = c \cdot a^{x}

Was ich von meinem Mathenachilfelehrer weiß, ist das

c

hier dem Wachstum bzw. dem Zerfall entspricht,

c

kann aber ja noch nicht bestimmt werden, da ich keine Angabe dazu habe, um wieviel die Menge an radioaktiven Zeugs zerfallen ist.

Und a entspricht dem Startzustand (also die Menge der radioaktiven Zeugs).

Das

x

entspricht der vergangenen Zeit.

Das heißt, um eine DGL aufzustellen fehlen mir sowohl die Menge an radioaktiven Materials, als auch die Kurve des Zerfalls und die Zeiteinheiten.....oder?

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23:47 Uhr, 28.02.2011

kurz... bist du noch in der schule oder in gehst du schon zur uni??

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23:51 Uhr, 28.02.2011

Schule ;-)

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23:58 Uhr, 28.02.2011

wow... schulmathe zu langweilig?? oder lernt man das heutzutage schon in der schule???

also... in der uni ist es so, dass ein nachhilfelehrer ankommt und sagt, dass der radioaktive zerfall

f (x) = c \cdot a^{x}

lautet. der student sagt dann: ich glaub dir kein wort!!! warum sollte es so sein?? könnt ja auch irgendeine andere formel sein!!!

dann setzt sich der student hin und nimmt sich etwas radioaktiven stoff und schaut ihn sich an und beobachtet diesen und stellt eine dgl auf... und wenn wir diese dgl geloest haben kommt, genau die formel raus, die uns der nachhilfelehrer gesagt hat... erst dann glaubt der student dem nachhilfelehrer.

also vergiss fuer jetzt erstmal diese formel und versuch aus meinen oberen angaben eine dgl aufzustellen...

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00:14 Uhr, 01.03.2011

Lach....schön wäre es wenn die Schulmathematik zu langweilig wäre^^

Also man lernt sowas, wenn der Mathelehrer ein Herzblut- Physiker ist und denkt, dass auch ein Mathe Grundkurs umbedingt Mathezeug auf Uniniveau lernen sollte ;-)

Zur Funktion ist zu sagen, dass sie meiner Ansicht nach exponentielles Wachstum bzw. Zerfall darstellt, er (der Nachhilfelehrer) hatte mir die dur so ein bisschen erklärt....

Ich versuchs mal ohne Funktion ;-)

Also:

Also wir haben radioaktives Zeug, je mehr wir haben, desto schneller zerfällt es, wenn wir also die Zefall-Geschwindigkeitskurve betrachten, haben wir eine fallende Kurve, demnach ist die Steigung negativ (ich weiß nicht ob das wichtig dafür ist??!!).

Ich brauche also eine eine Funktion, die die Menge des radioaktiven Zeugs abhängig von der Zeit darstellt.

das heißt ja auch schonmal, dass bei einem Graphen die x-Achse die Zeit und die y-Achse die Menge an radioaktiven Zeugs darstellt.

Die steigung eines Graphen entnimmt man der Ableitung der Funktion, also vllt sowas in der Art:

f (x) = - f' (x)

(- f' (x)

weil ja die Kurve fällt)

anonymous

00:19 Uhr, 01.03.2011

f (x) = c \cdot a^{x}

ist keine Differentialgleichung .

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00:20 Uhr, 01.03.2011

bingo... alles richtig

das einzige was fehlt ist eine proportionalitaetskonstante (die bei dir 1 ist), also

b \cdot f (x) = - f' (x)

kannst du das loesen?

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00:31 Uhr, 01.03.2011

Coooool, wenn das mein Mathelehrer wüsste :-D)

Also ich denke mal, das die Proportionalitätskonstante 1 ist, weil der Graph konstant um 1 fällt???

Lösen würde ich das jetzt so:

b \cdot f (x) = - f' (x)

1 \cdot y = - \frac{d y}{d x}

y = - \frac{d y}{d x} | \cdot d x

y d x = - d y | : y

d x = - \frac{d y}{y}

d x = - y d x

hier bin ich mir nicht sicher....müsste es nicht

y^{- 1}

werden? Oder komplett wegfallen?

Kannst du mich hier kurz korrigieren, nicht das ich den Rest noch falsch mach ;-)

CKims aktiv_icon

00:33 Uhr, 01.03.2011

das

b

bleibt...

b = 1

ist nur eine von vielen moeglichkeiten.

ja, es muss

y^{- 1}

heissen. stammfunktion davon ist

ln (y)

anonymous

00:41 Uhr, 01.03.2011

Normal löst man das mit Integrieren und

b

wird als Kontante vors Integral gezogen ; einfach

b = 1

setzten geht nicht , wenn man die allgeime Lösung dieser Differentialgleichung haben mag .

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00:42 Uhr, 01.03.2011

Ok hier kommt die Version mit

b = 1

und mit dem richtigen

y

b \cdot y = - \frac{d y}{d x}

1 \cdot y = - \frac{d y}{d x} | \cdot d x

1 \cdot y d x = - d y | : y

1 d x = - y^{- 1} d y

jetzt Integrieren

x = - \frac{1}{2} y^{2} | \cdot (2)

2 x = - y^{2}

|Wurzel

Wurzel aus

2 x = - y | \cdot (- 1)

- Wurzel

2 x = y

Keine Ahnung wie man eine Wurzel macht :-D)

Und richtig soweit?

CKims aktiv_icon

00:44 Uhr, 01.03.2011

nope,

wie schon gesagt... das

b

bleibt...

und die stammfunktion von

y^{- 1}

hatte ich dir doch schon gegeben naemlich

ln (y) . .

.

noch ein versuch... dann geb ich dir die loesung... muss langsam naemlich schlafen gehen

anonymous

00:45 Uhr, 01.03.2011

Dein Integral ist falsch und ausserdem fehlt da eine Kontante

C

beim Integral .

Die rechte Seite Integral wird zu

- ln] y [+ C

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01:01 Uhr, 01.03.2011

Krise...ok gleich haben wir es....

b \cdot y = - \frac{d y}{d x}

b \cdot y d x = - d y

b d x = - \frac{d y}{y}

b d x = - y^{- 1} d y

integrieren

b \cdot x + c 1 = ln (y) + c 2 | c 1 - c 2 := K

b \cdot x + K = ln (y) | e^{}

e^{b \cdot x} + K = y

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01:11 Uhr, 01.03.2011

Krise...ok gleich haben wir es....

b \cdot y = - \frac{d y}{d x}

b \cdot y d x = - d y

b d x = - \frac{d y}{y}

b d x = - y^{- 1} d y

integrieren

b \cdot x + c 1 = ln (y) + c 2 | c 1 - c 2 := K

b \cdot x + K = ln (y) | e^{}

e^{b \cdot x} + K = y

anonymous

03:37 Uhr, 01.03.2011

Das rechte Integral ist falsch , da muss ein Minus Zeichen vor das

ln

wie ich oben schon geschrieben habe ,damit du zu ner Abklingfunktion auch kommst die einen negativen Exponenten haben muss .
Da

f (x) = -

f´(x) ja gilt .

e^{- b \cdot x} + K = f (x) = y

sollte rauskommen dann .

Was du berechnet hast wäre für ne Sättigungsfunktion

f (x) =

f´(x)

e^{b \cdot x} + K = f (x) = y

x

sollte man besser

t

nennen weils ja die Zeit beschreibt .

Kannst ja auch an der standart Abklingfunktion sehen , dass der Exponent negativ sein muss damit das Teil Monoton fallend ist , da

e

ja die Monotonie bestimmt :

y = a \cdot e^{- l \cdot t} + b

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08:00 Uhr, 01.03.2011

Hey nochmals vielen Dank euch!!!

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