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Auftreffpunkt auf der Ebene

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Heavenhell aktiv_icon

13:36 Uhr, 08.03.2013

Guten Tag,

folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen bei meiner Klausurvorbereitung:

Ein Ball Punktmasse soll vom Punkt P(0,1,2) aus elastisch so an eine ebene Wand ( Ebenengleichung (y=-1)) geworfen werden, dass die Flugbahn nach der Reflektion durch den Punkt Q (2,1,0) verläuft.

Wo liegt der Auftreffpunkt? Geben Sie die Koordinaten es Punktes auf der Ebene an.(Hinweis: Skizze)

Erstmal weiss ich garnicht, was ich von der Ebenengleichung halten soll ?! Kann man die denn so überhaupt benutzen, kenne nur Parameter und Koordinatengleichungen, könnte das sowas sein wie E=(0;-1;0)+s(1;0;0)+t(0;0;1) ?
und wie soll ich da nun auf den Auftreffpunkt kommen ?

Hoffe ihr könnt mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

13:46 Uhr, 08.03.2013

Hallo,

eine Möglichkeit Unterräume darzustellen (Ebenen und Geraden sind ja nichts anderes als affine Unterräume) ist das Gleichungssystem! Eine Gerade wird durch 2 Gleichungen dargestellt (Rang der Koeffizientenmatrix

= 2 \Rightarrow

Lösungsmenge eindimensional = Gerade). Eine Ebene dagegen wird durch eine Gleichung dargestellt (Rang der Koeffizientenmatrix

= 1 \Rightarrow

Lösungsmenge zweidimensional = Ebene). Vollständig angegeben würde die Gleichung lauten:

0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = - 1

oder eben kurz

y = - 1

.

Eine Ebenengleichung in Parameterform läßt sich daraus gewinnen, indem man dieses minimale Gleichungssystem löst. Dazu setzt man die erste Koordinate auf einen Parameter, den ich mal

s

nennen will. Die letzte Koordinate setze ich auf einen anderen Parameter, den ich mal

t

nennen will. Das setze ich in die "verbliebene" Gleichung ein, das ergibt dann

y = - 1,

wer hätte das gedacht. Damit ergibt sich als Losungsvektor der Vektor:

(\begin{matrix} s \\ - 1 \\ t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 + s \cdot 1 + t \cdot 0 \\ - 1 + s \cdot 0 + t \cdot 0 \\ 0 + s \cdot 0 + t \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Toll, das ist genau das, was Du mich fragst, ob sowas vielleicht die Lösung sein könnte. Ja, es ist die Lösung und jetzt weisst Du sogar, wie man ohne Raten drauf kommt...

"und wie soll ich da nun auf den Auftreffpunkt kommen ?"

Du suchst eine Ebene, die durch

P

und

Q

geht und damit der Ball nach dem Auftreffen auf der Ebene

y = - 1

nicht aus der gesuchten Ebene herausspring, muss diese Ebene orthogonal

y = - 1

sein! Diese Ebene lässt siche eindeutig berechnen. Die berechnete Ebenen und

y = - 1

haben eine gemeinsame Schnittgerade, die Du ermitteln musst, auf ihr liegt der gesuchte Punkt. Ermittle in der gefundenen Ebene einen Vektor, der orthogonal zum Richtungsvektor der Schnittgeraden ist. Jetzt kannst Du zu jedem Punkt der Schnittgeraden die Vektoren zu

P

und zu

Q

ermitteln, diese müssen beide zum othogonalen Richtungsvektor den selben Winkel haben,

d . h

. Du setzt in die Kosinusgleichung ein Mal den orthogonalen Vektor und den Vektor zum Punkt

P

ein und das andere Mal den orthogonalen Vektor und den Vektor zum Punkt

Q

und setzt beide gleich. Damit ermittelst Du den Parameter des Punktes auf der Schnittgeraden, für den die beiden Winkel gleich groß sind. Das ist der gesuchte Punkt!

Eigentlich ganz einfach...

Edddi aktiv_icon

14:12 Uhr, 08.03.2013

. .

. eine andere Möglichkeit wäre, den Zielpunkt an

y = - 1

zu spiegeln. Die Verbindungsgerade des Spiegelpunktes mit dem Anfangspunkt sollte doch die Ebene

y = - 1

an derselben Stelle durchstoßen, oder?

Wir hätten dann Startpunkt

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und Zielpunkt

(\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

Ergäbe Wurfgerade

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 - 0 \\ - 3 - 1 \\ 0 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})

Durchstoßpunkt dann bei

(\begin{matrix} x_{D} \\ - 1 \\ z_{D} \end{matrix})

macht:

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{D} \\ - 1 \\ z_{D} \end{matrix})

Die mittlere Zeile ergibt Gleichung

1 - 4 \cdot r = - 1 \Rightarrow r = \frac{1}{2}

Der Auftreffpunkt wäre also bei

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) = . .

.

Was meint Ihr?

;-)

Heavenhell aktiv_icon

14:58 Uhr, 08.03.2013

Okay das mit der Ebenengleichung aus y=-1 hab ich verstanden danke

ehm nun zur 2. Ebene welche ich aus P und Q aufstelle,

wie soll ich diese orthogonal zu E1 y=-1 aufstellen ?

einfach mit E2=(0;-1;0)+s((0,1,2)-(0;-1;0))+t((2;1;0)-(0,-1,0)) so oder wie ?

Heavenhell aktiv_icon

17:40 Uhr, 08.03.2013

könnte mir da noch einer helfen ?

Heavenhell aktiv_icon

21:02 Uhr, 08.03.2013

noch jemand da der mir sagen kann wie ich aus den 2 Punkten und der Ebene eine 2. Ebene welche Orthogonal auf der andern liegt bekomme ?

Werner-Salomon aktiv_icon

23:27 Uhr, 08.03.2013

Ja - ist im Prinzip kein Problem. Wenn eine Ebene E2 senkrecht auf E1 (y=-1) stehen soll, so muss der Nornmalenvektor von E1 in E2 liegen.

\vec{n_{1}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und der andere Vektor, der in der Ebene liegen muss, ist

Q - P

also

\vec{q} - \vec{p} = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array})

aus diesen beiden Vektoren und z-B. dem Punkt

P

kannst Du die Parameterform für E2 aufstellen.

.. aber eigentlich ist das viel zu kompliziert. Edddi hat Dir doch einen weit einfacheren Weg gezeigt. Und das Ergebnis steht faktisch am Ende seines Beitrags.

Was daran ist für Dich noch unverständlich?

Gruß
Werner

Heavenhell aktiv_icon

11:56 Uhr, 09.03.2013

ja das stimmt die ist auch einfacher, aber warum ist der Zielpunkt bei dir bei

Q=(2;-3;0) müsste ich da nicht den einen Punkt nehmen mit Q(2,1,0)

DAnke

Werner-Salomon aktiv_icon

22:12 Uhr, 09.03.2013

Q ʹ = (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})

ist der an der Ebene

y = - 1

gespiegelte Punkt

Q

.

Mache Dir eine Zeichnung der Y-Z-Ebene und trage dort den Punkt

Q

ein - er liegt dann bei (Y=1,Z=0). Die Ebene

y = - 1

ist dann eine senkrechte Gerade, die die Y-Achse bei

y = - 1

schneidet. Nun spiegele den Punkt

Q

an dieser Geraden. Der gespiegelte Punkt

Q ʹ

liegt dann wo ...

soweit klar?

Gruß
Werner

Heavenhell aktiv_icon

11:12 Uhr, 11.03.2013

ah okay habs nun ;-) danke

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