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Aus Stichprobe auf Gesamtheit schließen

Universität / Fachhochschule

Tags: Stichprobe, Stochastik Wahrscheinlichkeit

Naikomike aktiv_icon

09:13 Uhr, 21.02.2025

Guten Tag zusammen,

ich hätte eine Frage, bei der ich leider trotz längerer Recherche bislang nicht auf eine Lösung gestoßen bin.

Thema: Eine Gesamtheit besteht aus Objekten, die zwei Zustände haben. Sagen wir eine Lieferung von

100.000

Tennisbällen. Das Ergebnis einer Prüfung kann sein: Tennisball ist defekt oder Tennisball ist in Ordnung.

Wie kann man die erforderliche Anzahl Stichproben ermitteln, wenn man mit

95

%-iger Sicherheit sagen möchte, dass die mindestens

99 %

der Lieferung in Ordnung ist?

Ich bin an der Beantwortung der Frage bislang leider gescheitert und wäre für Hinweise sehr dankbar!

Freundliche Grüße

Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

09:54 Uhr, 21.02.2025

Hallo
Du hast bei deinen Angaben/Annahmen streng genommen noch nicht ausreichend Daten benannt bzw. angesprochen.
Stell dir vor, du hättest bei deinem Zahlenbeispiel von den

100000

Bällen schon

90000

geprüft. Das sind schon fast alle, also eine unglaublich große Stichprobe.
Aber stell dir vor, von den

90000

Bällen wären wären

> 89100

Bälle

i . O

> 900

Bälle defekt.
Ich habe das Zahlenbeispiel so augenfällig gewählt, weil:
so sind gerade

99 %

der Stichprobe

i . O

. .

In anderen Worten:
Das ist gerade so ein Grenzfall.
Würdest du noch einen einzigen Ball mehr ziehen,

>

und der wäre defekt, dann ist das Kriterium (streng mathematisch) nicht erfüllt.

>

und der wäre

i . O .,

dann ist das Entscheidungskriterium (steng mathematisch) erfüllt.

Mit anderen Worten:
Selbst mit dieser unglaublich hohen Zahl an Stichprobengröße wäre deine Aussagekraft wohl immer noch gerade mal (ungefähr) fifty : fifty

, ~ 50 %

.

Solche Aufgaben leben typischerweise davon, dass du noch eine weitere Angabe, ein weiteres Datum / Wissen hast. Nämlich, eine Annahme oder Wissen, dass von der Stichprobe eine gewisse Anzahl tatsächlich

i . O

. oder defekt ist.
Also

z . B

. einer Stichproben-Anzahl von

200

Bällen
UND
dem Wissen, dass davon

199 i . O .,

also einer

(= 1)

defekt sind.

Jetzt mit diesem Wissen und diesen (vervollständigten) Angaben kannst du im Sinne einer Binomialverteilung rechnen.

HAL9000

10:02 Uhr, 21.02.2025

Ob man das gewünschte Resultat "mindestens 99% der Lieferung in Ordnung" mit 95%-iger Sicherheit sagen kann, hängt nicht nur von der Stichprobengröße, sondern auch vom Ergebnis der Stichprobe ab:

Hier soll vermutlich implizit angenommen werden, dass bei dieser Stichprobe vom Umfang

n

alle Tennisbälle in Ordnung sind - unter dieser Voraussetzung kann man dann die Mindestgröße von

n

berechnen.

EDIT: Hat sich mit dem Beitrag von calc007 überschnitten. Man kann von der strengen Forderung "kein Fehler in der Stichprobe" auch abgehen und doch eine gewisse Fehlerzahl zulassen - dann erhöht sich allerdings die notwendige Stichprobengröße

n

KL700 aktiv_icon

10:22 Uhr, 21.02.2025

Ich gebe zu bedenken:

Notwendig wäre:
Entweder eine bekannte oder geschätzte Defektwahrscheinlichkeit
ODER
Eine maximal zulässige Fehlerquote für unsere Schätzung

Das Problem liegt darin:

Du willst mit

95 %

Sicherheit sagen, dass

99 %

in Ordnung sind
Aber ohne Vorwissen über die Grundrate der Defekte kann man nicht bestimmen, wie viele Stichproben wir brauchen.
Meine vorherige Berechnung basierte auf impliziten Annahmen,
nicht durch die Aufgabenstellung gedeckt sind

Die mMn richtige Vorgehensweise wäre:

Erst die fehlenden Parameter definieren,
dann die erforderliche Stichprobengröße berechnen.

Naikomike aktiv_icon

10:43 Uhr, 21.02.2025

Hallo ihr drei,

erstmal schon mal vielen, vielen Dank für die schnellen Antworten!

Es ist leider so, dass die Defektverteilung in der Lieferung unbekannt ist.

HAL9000 hat Recht mit seiner Annahme, die ich leider nicht dazu geschrieben hatte:

Das Ergebnis der Stichprobe ist:

100 %

der Bälle sind

i

. O.

Falls ein Ball nicht in Ordnung ist, würden sowieso andere Schritte eingeleitet. Daher diese Einschränkung.

Besten Dank für eure Mühen!

HAL9000

15:38 Uhr, 21.02.2025

Man kann das ganze (mit

p_{0} = 0.01

) als Parameter-Test der Binomialverteilung für die Defektrate

p

der Tennisbälle auffassen, d.h.

H_{0} : p = p_{0}

gegen

H_{A} : p < p_{0}

zum Signifikanzniveau

α = 0.05

. Ziel ist die Ablehnung

H_{0}

, und der kritische Bereich (also wo

H_{0}

zugunsten

H_{A}

abgelehnt wird) für die Testgröße

T

... Anzahl der defekten Tennisbälle in der Stichprobe vom Umfang

n

ist einfach nur die Menge

K = {0}

. Dafür muss

P_{0} (T \in K) \leq α

gelten, d.h.

P_{0} (T = 0) = {(1 - p_{0})}^{n} = 0.9 9^{n} \leq 0.05

,

umgestellt

n \geq \frac{\ln (0.05)}{\ln (0.99)} \approx 298.07

, in ganzen Zahlen also

n \geq 299

.

Lässt man bis zu

b

Fehl-Bälle zu, so ist dann

K = {0, 1, \dots, b}

und das Kriterium ist dann

P_{0} (T \leq b) = \sum_{k = 0}^{b} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot 0.9 9^{n - k} \cdot 0.0 1^{k} \leq 0.05

,

für

b = 1

ergibt das beispielsweise Forderung

0.9 9^{n} + n \cdot 0.9 9^{n - 1} \cdot 0.01 \leq 0.05

, was für

n \geq 473

erfüllt ist (durch Approximationsverfahren ermittelt - per reiner algebraischer Ungleichungsumstellung geht das nicht mehr).

Für große

n

und

b

kann man dann auch irgendwann die Normalverteilungsapproximation nutzen, aber bei kleinen

b

ist das noch zu ungenau.

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