Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ausklammern - Faktorisierung von Termen

Ausklammern - Faktorisierung von Termen

Schüler

Tags: Ausklammern, Faktorisierung, Term

patrick2 aktiv_icon

18:20 Uhr, 08.09.2014

Hallo liebe Mathe-Profis,

ich bleibe des öfteren stecken bei der Vereinfachungen von Termen und habe das Gefühl, dass ich irgendetwas falsch mache.

Beispiel:

- 12 a + 6 b +

6ab - 3b²

+

4ac - 2bc - 2abc

+

b²c

Die Lösung habe ich auch:

- (2 a - b) \cdot (b - 2) \cdot (c - 3)

Mein Ansatz:

Bei den ersten 3 Teilen kann man das a ausklammern, bei den letzten drei das

b

a (- 12 + 6 b + 4 c -

2bc)

+ b (6 - 3 b - 2 c +

bc)

Außerdem haben die Zahlen im a-Teil die Zahl 2 als gemeinsamen Nenner, deswegen kann ich die 2 auch ausklammern. Aus dem b-Teil konnte ich so nichts mehr machen, deswegen habe ich das

b

und

c

seperat ausgeklammert:

2 a (- 6 + 3 b + 2 c -

bc)

+ 3 b (2 - b) + c (- 2 + b)

Hier ist mir jetzt aufgefallen, dass der

b

und c-Teil fast gleich sind. Also habe ich das Vorzeichen für den b-Teil geändert und somit den Klammerinhalt an den des c-Teils angeglichen:

2 a (- 6 + 3 b + 2 c -

bc)

- 3 b (- 2 + b) + c (- 2 + b)

Den zwei gleichen Teile in den

b

und c-Klammern konnte ich jetzt auch ausklammern:

2 a (- 6 + 3 b + 2 c -

bc)

\cdot (- 2 + b) \cdot (- 3 b + c)

So und ab hier komme ich dann nicht mehr weiter. Ich stecke bei fast allen Aufgaben dieser Form irgendwann fest und komme nicht zum gewünschten Ergebnis. Gibt es vielleicht irgendeinen Trick oder eine gewisse Abfolge von Schritten, damit das nicht mehr passiert ?

Vielen Dank im Voraus !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

MurksVomOrk aktiv_icon

19:06 Uhr, 08.09.2014

Bei

a (- 12 + 6 b + 4 c - 2 b c) + b (6 - 3 b - 2 c + b c)

musst du aufpassen:

= a (- 12 + 6 b + 4 c - 2 b c) + b (6 - 3 b - c (2 + b))

= a (- 12 + 6 b + 4 c - 2 b c) + b (6 - 3 b) - b c (2 + b)

Hast das b*( ... ) ignoriert.

---

Man kann hier raten.

- 12 a + 6 b + 6 a b - 3 b ² + 4 a c - 2 b c - 2 a b c + b ² c

b ist der einzige Term im Quadrat.

- 3 * b^{2}

und

+ c * b^{2}

-> versuchen den großen Term durch (c-3) zu teilen
(c und -3 sind die Vorfaktoren von

b^{2}

)

Aufteilen in "ohne Faktor c" und "mit Faktor c":

- 3 \cdot (4 a - 2 b - 2 a b + b ²)

| -3 wurde ausgeklammert
+

c \cdot (4 a - 2 b - 2 a b + b ²)

| c wurde ausgeklammert

Inhalt der Klammern ist identisch -> man kann das zusammenfassen:

(c - 3) \cdot (4 a - 2 b - 2 a b + b ²)

(Man sieht das (c-3) hier besonders gut. Geht nicht immer so leicht)

und danach weitermachen...

Femat aktiv_icon

19:10 Uhr, 08.09.2014

This is my way

anonymous

19:33 Uhr, 08.09.2014

ich mach´s mal so:
Umordnen: wir stellen Summanden zusammen, die
(a und ab) bzw. (b^2) bzw (b und bc) enthalten bzw. Rest:
= -12a + 6ab - 3b^2 + b^2c + 6b - 2bc + 4ac - 2abc (jeweils ausklammern)
= 6a(-2 + b) + b^2(-3 + c) + 2b(3 - c) + 2ac(2 - b)
jetzt klammern wir -1 aus, um gleiche Faktoren zu erhalten:
= 6a(b - 2) + b^2(c - 3) - 2b(-3 + c) - 2ac(-2 + b)
= 6a(b - 2) + b^2(c - 3) -2b(c - 3) - 2ac(b - 2) (ausklammern gemeinsamer Faktoren)
= (b - 2)(6a - 2ac) + (c - 3)(b^2 - 2b) (2a bzw b ausklammern)
= 2a(b - 2)(3 - c) + b(c - 3)(b - 2)
= -2a(b - 2)(-3 + c) + b(c - 3)(b - 2)
= -2a(b - 2)(c - 3) + b(c - 3)(b - 2) (und zum Schluß die gemeinsamen Faktoren auskl.)
= (b - 2)(c - 3)(-2a + b) (-1 auskl. und ordnen)
= -(2a - b)(b - 2)(c - 3)

patrick2 aktiv_icon

20:19 Uhr, 08.09.2014

Irrsinn07: Das hab ich so verstanden, wäre da aber nie draufgekommen

\frac{:}{}

Femat: Das schau' ich mir nochmal an

Und an MurksVomOrk:

"musst du aufpassen:
=a(−12+6b+4c−2bc)+b(6−3b−c(2+b))
=a(−12+6b+4c−2bc)+b(6−3b)−bc(2+b)"

Ist bei der letzten Zeile nicht ein

b

zu viel ? Wenn man das auflöst stimmt das ja nicht mehr mit der Ausgangsaufgabe überein.

Ich habe mal bis dahin gerechnet:

(c−3)⋅(4a−2b−2ab+b²)

Ich habe hier dann wieder versucht a und

b

auszuklammern:

a (4 - 2 b) + b (- 2 - 2 a + b) (c - 3)

Ab hier komme ich wieder nicht weiter. Habe ich was falschen ausgeklammert oder bin ich einfach zu doof ?

tommy40629 aktiv_icon

10:52 Uhr, 10.09.2014

Nein, das hat nix mit doof zu tun!

Das man das am Anfang nicht kann ist normal. Man kann ja auch nicht sofort laufen oder Auto fahren.

Fleiß ist hier der Schlüssel. Ich konnte das zu Beginn auch nicht, nach Übung von mehreren wirklich hunderten Aufgaben hatte ich beim Anblick solch einer Aufgabe sofort einen roten Faden bis zur Lösung. Hier und da mal probieren und schwupp fertig.

Und wir hatten keinen in der Klasse, der das nicht auch üben mußte.

Wenn Du üben willst:

http://www.amazon.de/Kusch-Mathematik-Arithmetik-Aufgabensammlung-L%C3%B6sungen/dp/3464413918/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1410339057&sr=8-1&keywords=kusch+mathematik+1

http://www.amazon.de/Kusch-Mathematik-Aktuelle-Neuausgabe-Arithmetik/dp/3464413012/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1410339057&sr=8-3&keywords=kusch+mathematik+1

Duden Schülerhilfen sind auch noch gut.

MurksVomOrk aktiv_icon

12:53 Uhr, 10.09.2014

... + b(6-3b [)] - [(] 2c+ bc)
... + 3b(2-b)+[b]c(-2+b)

Entweder es fehlen die Klammern in []
oder es fehlt das b in [].
Ansonsten sind die Terme nicht identisch.

Was falsch ist lässt sich leicht überprüfen:
in der Anfangsgleichung sind zwei b² zu finden
aber in 2a(-6+3b+2c- bc) +3b(2-b)+c(-2+b)
ist nur noch 3b² - und b²c fehlt, wenn man alles ausmultipliziert.

---

Für Prüfungen: Nehmt am besten die Idee von Femat und rechnet einfach stur runter.
Lehrer und Doktoren neigen dazu "nicht standardisierte Lösungen" als falsch anzustreichen und dann diskutiert man erstmal ne halbe Stunde bis die das verstehen.
Eigene Lösungswege darf man erst mit nem Doktor/Prof in Mathe finden - also haltet euch an die Bücher. ;-)
Außerdem sollt ihr die "Standardlösungen" für eure Prüfungen üben.

Also alle Terme mit Variable x auf eine Seite und alle ohne x auf die andere.
x rausziehen, Klammern gleichsetzen indem man einen Term aus der Klammer ohne x rauszieht
nach a*c+b*c = (a+b)*c zusammenfassen
und nach dem gleichen Muster weitersuchen.

---

Grundgedanke bei meinem Ansatz:
Entweder man kann die beiden b² zusammenfassen oder nicht.
Wenn man es kann, dann stehen beide Faktoren schon da und man hat in diesem Fall direkt (c-3)*(...).
Und wenn es nicht geht, sollte der Dozent bessere Aufgaben stellen - da es genau zwei sind, dürfte es dann schwer werden überhaupt einen Term (nach Schema F) auszuklammern, da man nur zwei b² zum Zusammenfassen hat, die man aber nicht zusammenfassen kann*, und keine Variable in allen Termen vorkommt - also kein a*(...),b*(...), ... möglich wäre.

*[x*(Term ohne b²)+y*(Term mit zwei b²) = (x+y)*(...) dürfte nicht so trivial sein.]

Nach meiner Idee sollte man nach dem Ausklammern von c aber die Standardlösung für die restliche Klammer anwenden.
Es gibt zwar einige Hinweise wieviele Terme es sind und wie sie aussehen müssen, aber rechnen geht schneller.

Die Idee bringt sowieso mehr, wenn die Terme, die man rauszieht, größer sind und man sie nicht vereinfachen kann. Und die findet man i.A. nicht in Prüfungsaufgaben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1184035

1183690

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?