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Ausklammern, höchste Potenz

Schüler

Tags: Ausklammern, höchste Potenz, Nenner, Zähler

anonymous

13:04 Uhr, 13.04.2015

Hallo,

also ich hänge gerade an einer Aufgabe fest, bei der ich jeweils die höchste Potenz im Zähler und im Nenner ausklammern soll. Es geht also darum, das Verhalten für

x

geht gegen plus-minus unendlich zu untersuchen.

Bei den anderen Aufgaben habe ich es verstanden, also das Prinzip ist mir klar, dennoch tanzt folgende Aufgabe etwas aus der Reihe, da 1.im Zähler eine Zahl ohne

x

und 2. im Nenner eine Klammer vorhanden ist.

h (x) = \frac{F (x)}{G (x)}

h (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}

Man kann diese Aufgabe zwar auch mit Polynomdivision berechnen, aber wir sollen nunmal die andere Variante (siehe oben) anwenden.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

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13:44 Uhr, 13.04.2015

lim_{x \to \infty} \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}

musst Du gar nichts machen, außer

x \to \infty

gehen zu lassen. Man kann sofort den Grenzwert sehen.

Wenn Du unbedingt ausklammern willst, dann

\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x^{2} - 4 \cdot x + 4} = \frac{x^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}}}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}

ist aber unnötig.

anonymous

13:48 Uhr, 13.04.2015

Also das heißt dann einfach, dass im Nenner 0 stehen muss oder wie? Also ist der Grenzwert

2 ... .

? PS: Ich habe gerade gesehen, dass da steht: Untersuche, ob Asymptoten vorhanden sind. Gib gegebenfalls ihre Gleichungen an. Sorry, habe die Aufgabenstellung auf die vorige Aufgabe bezogen. Oder ist das im Prinzip eh das gleiche? bin etwas durcheinander. LG

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13:52 Uhr, 13.04.2015

Du hast doch den Grenzwert für

x \to \infty

dann steht im Nenner doch

\infty!

Der Grenzwert ist dann doch....

Wenn der Zähler konstant ist und der Nenner immer größer wird, was passiert mit dem Wert des Bruches?

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13:56 Uhr, 13.04.2015

Für die waagerechten Asymptoten brauchst Du die Grenzwerte für

x \to - \pm \infty

lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = 0

also waagerechte Asymptote bei

y = 0

Du musst aber auch nach senkrechten Asymptoten (Polstellen) suchen.

anonymous

13:58 Uhr, 13.04.2015

Bsp:

h (x) = \frac{x}{x^{2} - 16},

dann

\frac{x \cdot (1)}{x^{2} \cdot (1 - \frac{16}{x^{2}})}

x

geht gegen plus-minus unendlich.

(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{1 - \frac{16}{x^{2}}})

Dabei geht

\frac{16}{x^{2}}

gegen 0.

Das Ergebnis ist dann

\frac{1}{x}

So haben wir das gemacht. Wie kann man das hier übertragen? LG

PS: Asymptoten vorhanden? Die Gleichung angeben?

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14:08 Uhr, 13.04.2015

Es ist aber

lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0

das heißt

lim_{x \to \pm \infty} h (x) = 0

y = 0

ist waagerechte Asymptote.

y = \frac{1}{x}

ist eine Näherungsfunktion und keine Asymptote, die ist aber nicht gesucht, oder?
Waagerechte Asymptoten sind Geradengleichungen mit

y = c

mit

c \in ℝ

Schräge Asymtoten haben die Geradengleichung

y = m \cdot x + t

Du darfst aber die senkrechten Asymptoten nicht vergessen mit

x = c

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14:15 Uhr, 13.04.2015

Wenn Du die andere Funktion in dieser Form haben willst,

f (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x^{2} - 4 \cdot x + 4} = \frac{2}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})} = \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}

Was soll das aber bringen?
Der Grenzwert

x \to \pm \infty

ist doch aus der Ausgangsfunktion sofort zu erkennen.

anonymous

14:32 Uhr, 13.04.2015

danke für deine Mühe! Ist der Grenzwert jetzt 2 oder wie? LG

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14:42 Uhr, 13.04.2015

Siehe

12 : 56 h

lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} = 0

y = 0

ist waagerechte Asymptote

Wenn der Zähler konstant ist und er Nenner eines Bruches größer wird, was passiert mit dem Wert des Bruches?

\frac{2}{10} > \frac{2}{100} > \frac{2}{1000} > \frac{2}{10^{6}} > ... . . > \frac{2}{10^{25}} > ... >

\frac{2}{\infty}

" (die Schreibweise ist nicht korrekt, deskhalb die Anführungsstriche)

anonymous

14:47 Uhr, 13.04.2015

Das heißt, dass der Bruch immer kleine wird. Also er strebt gegen 0. Aber hier geht ja

x

gegen plus und gegen minus unendlich. insofern komme ich auf keine gleichung der asymptote..oh je, die senkrechten soll man auch noch bestimmen.^^

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14:51 Uhr, 13.04.2015

y = 0

ist doch eine Asymptote zufällig eben die x-Achse.

Es ist doch egal hier, ob

x \to + \infty

oder

- \infty

geht.
Der Grenzwert ist in beiden Fällen 0.

Für die senkrechten Asymptoten benötigst Du erst einmal die Definitionslücken.

anonymous

14:57 Uhr, 13.04.2015

Also sowohl für

x

strebt gegen plus unendlich als auch für

x

strebt gegen minus unendlich ist der grenzwert 0. okay, danke. :-)senkrechte asymptoten sind doch einfach die nullstellen des nenners oder?

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15:01 Uhr, 13.04.2015

Ja, eben die Definitionslücken können senkrechte Asymptoten sein, wie hier in Deinem Fall.
Der Grenzwert muss an diesen Stellen

\to \pm \infty

gehen.

Zu Deiner Information:
(Es gibt aber außerdem die Möglichkeit, dass die Definitionslücken stetig behebbar sind, wenn der Grenzwert dort nicht

\to \pm \infty

geht.)

anonymous

15:02 Uhr, 13.04.2015

Am besten ist die einfachste variante. :-) also nullstellen berechnen müsste ja ausreichen. Danke! ;-)

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15:07 Uhr, 13.04.2015

Bei dieser Funktion genügt es.

anonymous

15:10 Uhr, 13.04.2015

okay, perfekt. :-) danke für deine hilfe!

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15:12 Uhr, 13.04.2015

Mach bitte einen Haken, wenn die Aufgabe erledigt ist.

lg

MB

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