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Aussage

Schüler

Tags: Analysis

Randolph Esser aktiv_icon

22:18 Uhr, 08.11.2026

Hallo,

ist folgende Aussage wahr oder falsch ?

Es gilt

x (x - 2 a^{2}) > 0 \Leftrightarrow | x - a^{2} | > a^{2}

für alle

x, a, b \in ℝ

Randolph Esser aktiv_icon

01:17 Uhr, 09.11.2026

Hat sich erledigt, hier ist meine Antwort
(man kann den Thread jedoch nicht abhaken,
solange noch niemand anders geantwortet hat):

Die Aussage ist wahr, Beweis:

x (x - 2 a^{2}) > 0 \Rightarrow | x - a^{2} | > a^{2} :

Gelte

x (x - 2 a^{2}) > 0

1

. Fall:

x > 0, x - 2 a^{2} > 0

Dann gilt

x - a^{2} > a^{2} \geq 0

und somit

| x - a^{2} | = x - a^{2} > a^{2}

2

. Fall:

x < 0, x - 2 a^{2} < 0

Dann gilt

x - a^{2} \leq x < 0

und somit

| x - a^{2} | = a^{2} - x > a^{2}

| x - a^{2} | > a^{2} \Rightarrow x (x - 2 a^{2}) > 0 :

Gelte

| x - a^{2} | > a^{2} :

1

. Fall:

| x - a^{2} | = x - a^{2}

Dann gilt

x - 2 a^{2} > 0

und somit auch

x > 0,

und also auch

x (x - 2 a^{2}) > 0

2

. Fall:

| x - a^{2} | = a^{2} - x

Dann gilt

a^{2} > x + a^{2},

also

x < 0

und somit auch

x - 2 a^{2} \leq x < 0,

und es folgt

x (x - 2 a^{2}) > 0

Doppelbauer

09:11 Uhr, 09.11.2026

Quadr. Ergänzung - Wurzel, fertig

Randolph Esser aktiv_icon

17:23 Uhr, 09.11.2026

Ja, stimmt:

{(x - a^{2})}^{2} - a^{4} = x (x - 2 a^{2}) > 0 \Rightarrow | x - a^{2} | > a^{2},

| x - a^{2} | > a^{2} \Rightarrow {(x - a^{2})}^{2} > a^{4} \Rightarrow x (x - 2 a^{2}) = {(x - a^{2})}^{2} - a^{4} > 0

Randolph Esser aktiv_icon

17:45 Uhr, 09.11.2026

Und Haken machen...

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