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Aussage beweisen, Binomischer Lehrsatz

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Kombinatorische Optimierung

Tags: Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz, Höhere Mathematik, Kombinatorische Optimierung

studentin10 aktiv_icon

22:14 Uhr, 25.10.2015

\sum_{k = 0}^{n} cos (\frac{π}{4} + k \cdot π) (n

über

k) = 0

.
Wie muss man da beginnen? ich habe einen einheitskreis gemacht, und habe draus gelesen, dass

\frac{cos π}{4} \to \frac{\sqrt{2}}{2}

ist. Aber da ist doch noch ein

k \cdot π

??? Ich weiß echt nicht wie ich da anfangen soll

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Stephan4

23:00 Uhr, 25.10.2015

Für welches

n

hast Du denn da gerechnet?

(Meiner Meinung nach gilt diese Formel nur für ungerade

n .)

Übrigens:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

schreibt man hier so:
"((n),(k))"

Werner-Salomon aktiv_icon

23:26 Uhr, 25.10.2015

Die Formel ist für jedes

n \in ℕ

korrekt.

Man betrachte zunächst den Term

\cos (\frac{π}{4} + k π)

für gerade und für ungerade

k

. Allgemein gilt für die triogonometrischen Funktionen

\cos (x) = \cos (x + 2 π)

Also ist für gerade

k

\cos (\frac{π}{4} + k π) = \cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

und für ungerade

k

gilt dann entsprechend:

\cos (\frac{π}{4} + k π) = \cos (\frac{π}{4} + π) = \frac{- \sqrt{2}}{2}

daher lässt sich für dem Ausdruck

\cos (\frac{π}{4} + k π)

auch schreiben

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 1^{k}

Einsetzen in obige Summenformel ergibt:

\frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{k = 0}^{n} - 1^{k} \cdot (\binom{n}{k})

Im Übrigen ist

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \cdot x^{k}

.. na, alles klar?

Gruß
Werner

Roman-22

23:38 Uhr, 25.10.2015

Hast du die Aufgabe schon einmal mit einem anderen Account gestellt oder ist das eine zufällige Koinzidenz?

\to

www.onlinemathe.de/forum/Frage-zu-Summe-mit-Binomialkoeffizienten

Jedenfalls ist

cos (\frac{π}{4} + k \cdot π) = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

.
Der allen Summanden gemeinsame Faktor

\frac{\sqrt{2}}{2}

kann ausgeklammert werden und daher ist nur zu zeigen, dass die alternierende Summe der Binomialkoeffizienten Null ergibt

\to \sum_{k = 0}^{n} [{(- 1)}^{k} \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})] = 0

für

n \in ℕ^{⋆}

.

Entgegen der Behauptung gilt die Aussage NICHT für alle

n \in ℕ,

da sie für

n = 0

falsch ist.

Anmerkung: Es gibt eine gültige DIN und auch ISO Norm, derzufolge 0 eine natürliche Zahl ist. Wenn man (auch hier im Forum)

ℕ

verwendet, so ist daher von der Definition in der Norm auszugehen. Will man

ℕ

anders definiert wissen, was durchaus zulässig ist, dann muss man das aber (auch hier in der Frage) entsprechend angeben.

>

Aber da ist doch noch ein k⋅π
Ja, und das sorgt dafür, dass du alternierend im Einheitskreis einmal (für gerade

k)

bei 45°

(\to + \frac{\sqrt{2}}{2})

landest und dann wieder (für ungerade

k)

bei 225°

(\to - \frac{\sqrt{2}}{2})

.

@Stephan4: Die Aussage gilt mit Ausnahme von

n = 0

auch für alle geraden natürlichen Zahlen. Siehe dazu meine Ausführungen in dem anderen Thread.

R

Werner-Salomon aktiv_icon

00:12 Uhr, 26.10.2015

.. sieh an.

das mit der Definition von

ℕ

ist interessant. Zu meiner Zeit wurde noch die Definition von Dedekind verwendet, nach der

ℕ = {1, 2, 3, . .}

ist.
Die Menge

{0, 1, 2, 3, . .}

wurde explizit mit

ℕ_{0}

angeben.

ℕ^{⋆}

(aus der DIN 5473) habe ich tatsächlich noch nie gesehen!

man lernt ja nie aus.

Gruß
Werner

Roman-22

00:40 Uhr, 26.10.2015

Ja, ich habs auch noch so gelernt, dass 0 keine natürliche Zahl ist und für mich wäre das auch heute noch die vernünftigere Definition. Die Unterscheidung zwischen

ℕ

und

ℕ_{0}

wäre wesentlich intuitiver als jene heute zwischen

ℕ^{⋆}

und

ℕ

.
Und, ja, das

ℕ^{⋆}

sieht man außerhalb des Schulbereichs nur sehr selten.
Aber im Jahr

1976

kam eben die Normierung. Und seither ist die Situation viel unklarer und verworrener als vorher, da diese Norm vielfach nicht akzeptiert und beachtet wurde und wird. In Deutschland wird diese Norm nicht einmal in allen Bundesländern respektiert und so entsteht ein Durcheinander, der der Intention einer Norm gerade widerspricht.
Wenn man heute irgendwo

ℕ

liest, kann man nur raten, was denn gemeint sein könnte, denn an die von mir eingeforderte Vorgangsweise, bei Abweichung von der aktuell gültigen Norm

ℕ

explizit zu definieren, halten sich die wenigsten. Die Fragesteller hier im Forum wohl auch deshalb, weil ihnen die Problematik (und auch die Norm) gar nicht bewusst ist. Ihr Dozent wird sicher irgendwo anfangs

ℕ

definiert haben.
In diesem Thread

\to

www.onlinemathe.de/forum/Zahlenmengen-13 hab ich mich auch schon etwas ausführlicher darüber ausgelassen.

R

Stephan4

08:14 Uhr, 26.10.2015

@Roman-22:
Danke für Deinen Hinweis auf Deinen anderen Thread. Ja, jetzt glaube ich, dass die Formel auch für die geraden

n

gilt.

:-)

Roman-22

12:39 Uhr, 26.10.2015

>

Ja, jetzt glaube ich, dass die Formel auch für die geraden

n

gilt.
Wenn die binomische Formel

{(1 + x)}^{n} = . .

. verwendet werden darf, dann hat Werner ja schon die eleganteste Lösung der Aufgabe (ohne Fallunterscheidung) präsentiert ;-)

R

Stephan4

13:41 Uhr, 26.10.2015

Auf Grundlage dieser Formel ist die Lösung sogar nachgewiesen.

studentin10 aktiv_icon

22:16 Uhr, 26.10.2015

Das habe ich jetzt erst gesehen, obwohl ich die aufgabe in google eingegeben habe und nichts von dem beitrag vom

22.10.15

erschienen ist. Bin selber überrascht, dass jn dieselbe frage gestellt hat wie ich?? Bin hier neu(erst seit gestern).

D . h

. ich muss einfach wissen das

cos

...das gleiche ist wie das,was rechts davon ist?
Wie kommst Du dann auf die

{(1 + x)}^{n}

1262571

1262190

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