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Aussage wahr/falsch?
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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Hy an alle! Könntet ihr mir vielleicht hier weiterhelfen? Ich bräuchte einen Beweis dafür, dass folgende Aussage, wahr ist bzw. brauche ich ein Gegenbeispiel, wenn diese Aussage falsch ist: Zwischen 2 verschiedenen reellen Zahlen liegt immer eine irrationale Zahl. Bitte um eine rasche und richtige Antwort!!! Lg Lucy |
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| reelle zahlen = rationale zahlen + irrationale zahlen | |
anonymous 23:45 Uhr, 27.10.2005 |
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Zwischen zwei reellen Zahlen a,b, a ungleich b gibt es immer eine irrationale Zahl, die Aussage ist definitiv wahr. Begründung: Weil die rationalen Zahlen dicht in R liegen, gibt's rationale Zahlen r,s, r ungleich s, so dass [r,s] Teilmenge [a,b] ist. Für h=r+((s-r)/sqrt(2)) ist h aus [r,s] (wegen sqrt(2) > 1) und h ist irrational, denn wäre h rational, so wäre auch h-r rational (und ungleich 0, weil h > r nach Definition von h). Dann aber wäre h=r+((s-r)/sqrt(2)) gleichbedeutend zu sqrt(2)=(s-r)/(h-r), wobei dann (s-r) und (h-r) rationale Zahlen wäre, was den Schluß ziehen würde, dass sqrt(2) rational wäre, was nicht sein kann! Grüße |
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