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Aussagen über Mengen beweisen: Äquivalenzumformung

Schüler , 11. Klassenstufe

Sonstiges

Tags: Äquivalenzumformung, Aussagenlogik, Implikation, mengen, Mengenlehre

Doomsday aktiv_icon

17:54 Uhr, 16.11.2015

Hallo, liebe Profis :-D)
Heute mal eine Frage, die sich mit Ja oder Nein beantworten lässt.

Hier ist mal eine tatsächliche Musterlösung zu einer meiner Matheaufgaben:

Seien

A, B, C

und

M

Mengen und

A, B, C \subseteq M

Beweisen Sie:

A \cap M = A

Lösung:

\forall x \in M

gilt:

x \in (A \cap M)

\equiv (x \in A) \land (x \in M)

\equiv (x \in A) \land w

\equiv (x \in A)

Also gilt:

(\forall x \in M) [x \in (A \cap M) \Leftrightarrow x \in A]

Jetzt gibt es eine andere Aufgabe, die ich ähnlich gelöst habe, aber nicht sicher bin, ob das geht, da in den Musterlösungen komischerweise statt Äquivalenzumformungen die Implikationsumformungen benutzt wurden (erst linke Seite beweisen, dann rechte Seite).

Die lautet folgendermaßen:

Seien

A, B, C

und

M

Mengen und

A, B, C \subseteq M

Beweisen Sie:

A \cap B = A

genau dann, wenn

A \subseteq B

Also an sich ist hier ja eine Äquivalenz von zwei Aussagen zu beweisen, wobei die linke Seite eigentlich selbst eine Äquivalenz darstellt. Ich muss also diese Äquivalenz in eine Implikation umwandeln.
Deswegen gehe ich folgendermaßen so vor:

\forall x

gilt:

x \in (A \cap B) \Leftrightarrow x \in A

\equiv (x \in A \land x \in B \Leftrightarrow x \in A)

\equiv (x \in A \land x \in B \Rightarrow x \in A) \land (x \in A \Rightarrow x \in A \land x \in B)

\equiv ((x \notin A \lor x \notin B) \lor x \in A) \land (x \notin A \lor (x \in A \land x \in B))

\equiv w \land (x \notin A \lor (x \in A \land x \in B))

\equiv x \notin A \lor (x \in A \land x \in B)

\equiv (x \notin A \lor x \in A) \land (x \notin A \lor x \in B)

\equiv w \land (x \notin A \lor x \in B)

\equiv w \land (x \notin A \lor x \in B)

\equiv x \notin A \lor x \in B

\equiv x \in A \Rightarrow x \in B

(Nach Definition von Teilmenge)

\equiv A \subseteq B

Ginge das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

wallter0234 aktiv_icon

22:53 Uhr, 16.11.2015

Ja!
Walter

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1268635

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