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Aussagenlogik - Negation, Kontraposition, Umk.

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, Implikation, Kontraposition, Negation, Umkehrung

 
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gotnoidea

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13:00 Uhr, 26.10.2014

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Hallo liebe Mitglieder,

folgende Aussage ist gegeben : "Ist ein Hund froh, so läuft er" (dürfte ja vielen bekannt sein)

Die Aufgabenstellung verlangt nun die korrekte Negation, Kontraposition und Umkehrung der Aussage. Ich habe mir folgendes gedacht:

Aussage: "Ist ein Hund froh, so läuft er."

Negation: "Es ist nicht der Fall, dass ein Hund läuft, wenn er froh ist."
Kontraposition: "Ist ein Hund nicht froh, so läuft er nicht."
Umkehrung: "Läuft ein Hund, so ist er froh."

Ich hoffe das stimmt soweit, denn nun ist gefragt, welche Implikationen zwischen den Aussagen bestehen (inkl. der Grundaussage). Das Grundprinzip der Implikation ist mir bekannt und nachvollziehbar - nur angewendet auf diese Aussage kann ich wenig damit anfangen.


Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir etwas helfen könntet :-)

Danke und viele Grüße


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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gaubes

gaubes aktiv_icon

16:31 Uhr, 26.10.2014

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Hund froh -→ läuft
ist sowohl aussage als auch implikation. er muss erst froh sein, dann läuft er.
vgl aus A folgt B.

daher ist deine negation falsch.
die wäre ja aus Nicht A folgt B
also ist ein hund nicht froh, so läuft er.



Antwort
oculus

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18:02 Uhr, 26.10.2014

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Hallo,

Es bedeute

F:= der Hund ist froh
non F:= der Hund ist nicht roh (= es ist nicht wahr, dass der Hund froh ist)
L:= der Hund läuft
non L: der Hund läuft nicht (= es ist nicht wahr, dass der Hund läuft)

Deine Ausgangsaussage ist
(1) F⇒L(= wenn der Hund froh ist, dann läuft er)

Dann ist von (1)

(2) die Kontraposition
non L⇒ non F(= wenn der Hund nicht läuft, dann ist er nicht froh)

(3) die Negation
non(F ⇒L)⇔F und non L(= der Hund ist froh und läuft nicht)

(4) die Umkehrung
L⇒F,(= wenn der Hund läuft, dann ist er froh)

Die Aussage (2) ist logisch äquvalent zur Aussage (1).

oculus
gotnoidea

gotnoidea aktiv_icon

14:02 Uhr, 27.10.2014

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Alles verstanden, vielen Dank für eure Hilfe. War verunsichert, weil die Aussage an sich ja eben schon eine Implikation darstellt. Nur bleibt mir noch die offene Frage, welche Implikationen zwischen den verschiedenen Aussagen (Grundaussage, Kontraposition, Negation und Umkehrung) bestehen. Hier nochmal die Varianten:

X:= "der Hund ist froh"
Y:= "der Hund läuft"
A:=X→Y
A:= "Ist ein Hund froh, so läuft er"

Negation: "Der Hund ist froh und läuft nicht", da non (X→Y)⇔X∧ non (Y)
Kontraposition: "Wenn ein Hund nicht läuft, ist er nicht froh", da X→Y⇔ non( Y)→ non( X)
Umkehrung: "Läuft ein Hund, so ist er froh", da Y→X gilt

Kann mir momentan nicht vorstellen, welche Implikationen zwischen den versch. Aussagen bestehen - die Äquivalenz zw. der Grundaussage und der Kontraposition wurde ja bereits festgestellt.

Wäre froh, wenn mir jemand helfen kann.


Vielen Dank und viele Grüße

________

edit: Kann mir jemand die logische Aussage (X∨Y)∧( (non X)∨( non Y)) wörtlich bzw. besser schriftlich formulieren?
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