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Ausschussquote berechnen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Normalverteilung, Standardnormalverteilung, Verteilungsfunktion

Mo007 aktiv_icon

14:40 Uhr, 24.01.2015

Hallo allerseits,

ich habe hier noch eine Aufgabe, bei der ich einen Teil der Aufgabe denke ich schon gelöst habe aber ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösung wirklich richtig ist und ob mein Ansatz für den Teil b) der Aufgabe stimmt. Ich hoffe, mir kann einer von euch helfen.

Die Aufgabe ist folgende:

Die Qualität von Kugeln für Kugellager werde auf folgende Weise kontrolliert: Fällt die Kugel durch eine Öffnung mit dem Durchmesser

d_{2}

, jedoch nicht durch eine Öffnung mit dem Durchmesser

d_{1}

(

d_{1} < d_{2}

, so genügt die Kugel den Qualitätsanforderungen. Ansonsten ist die Kugel Ausschuss.

Es sei bekannt, dass der Durchmesser D der Kugeln unter den gegebenen Fertigungsbedingungen eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern

μ = \frac{d_{1} + d_{2}}{2}

und

σ = \frac{d_{2} - d_{1}}{4}

ist.

a) Bestimmen Sie die Ausschussquote bei dieser Fertigung.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Kugeln mindestens 3 Ausschussteile sind? Welche Annahmen haben sie getroffen?

Zu a):

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel kein Ausschuss ist, ist

P (d_{1} < D < d_{2})

. Die Ausschussquote ist dann entsprechend

1 - P (d_{1} < D < D_{2})

und ich habe mir überlegt, dass man diese Wahrscheinlichkeit über die Standardnormalverteilung berechnen können müsste und zwar folgendermaßen:

1 - P (d_{1} < D < d_{2})

= 1 - [Φ (\frac{d_{2} - μ}{σ}) - Φ (\frac{d_{1} - μ}{σ})]

= 1 - [Φ (\frac{d_{2} - \frac{d_{1} + d_{2}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}}) - Φ (\frac{d_{1} - \frac{d_{1} + d_{2}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}})]

= 1 - [Φ (\frac{\frac{2 * d_{2} - d_{1} - d_{2}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}}) - Φ (\frac{\frac{2 * d_{1} - d_{1} - d_{2}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}})]

= 1 - [Φ (\frac{\frac{d_{2} - d_{1}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}}) - Φ (\frac{\frac{d_{1} - d_{2}}{2}}{\frac{d_{2} - d_{1}}{4}})]

= 1 - [Φ (\frac{d_{2} - d_{1}}{2} * \frac{4}{d_{2} - d_{1}}) - Φ (\frac{d_{1} - d_{2}}{2} * \frac{4}{d_{2} - d_{1}})]

= 1 - [Φ (2) - Φ (\frac{2 * (d_{1} - d_{2})}{d_{2} - d_{1}})]

So, jetzt kommt die Stelle, an der ich mir nicht sicher bin, ob ich das wirklich so machen kann:

Wegen

(d_{1} < d_{2})

weiß ich, dass

(d_{1} - d_{2}) < 0

und

(d_{2} - d_{1}) > 0

gilt, also ist der gesamt Ausdruck

(\frac{2 * (d_{1} - d_{2})}{d_{2} - d_{1}}) < 0

. Ich weiß aber, dass allgemein gilt:

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

, also schreibe ich jetzt:

Φ (\frac{2 * (d_{1} - d_{2})}{d_{2} - d_{1}}) = 1 - Φ (\frac{2 * (d_{2} - d_{1})}{d_{2} - d_{1}}) = 1 - Φ (2)

In die obiger Gleichung einsetzen liefert:

1 - P (d_{1} < D < d_{2}) = 1 - [Φ (2) - (1 - Φ (2))] = 1 - [Φ (2) - 1 + Φ (2)]

= 1 + 1 - 2 * Φ (2) = 2 - 2 * Φ (2)

Und aus einer Tabelle für die Standardnormalverteilung lese ich den Wert ab:

Φ (2) = 0, 97725

, also folgt:

1 - P (d_{1} < D < d_{2}) = 2 - 2 * 0, 97725 = 0, 0455

Ist das schon mal richtig so?

Und zu b) habe ich mir bisher folgendes gedacht:

Das hört sich für mich irgendwie nach Binomialverteilung an. Wenn ich also setze:

X:="Anzahl der Ausschusskugeln", Erfolg:="Kugel ist Ausschuss" und Misserfolg:="Kugel ist kein Ausschuss" und den in a) berechneten Wert als Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,0455 annehme, könnte ich doch einfach über die Formel für die Binomialverteilung berechnen:

P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2) = 1 - [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]

= 1 - [((\binom{100}{0}) * 0, 045 5^{0} * (1 - 0, 0455)^{(100 - 0)}) + ((\binom{100}{1}) * 0, 045 5^{1} * (1 - 0, 0455)^{(100 - 1)}) + ((\binom{100}{2}) * 0, 045 5^{2} * (1 - 0, 0455)^{(100 - 2)})]

= 1 - [0, 0095 + 0, 0453 + 0, 1068] = 1 - 0, 1616 = 0, 8384

Aber ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob ich hier wirklich einfach so die Binomialverteilung verwenden kann. ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mo007 aktiv_icon

11:15 Uhr, 25.01.2015

Hm, kann mir keiner sagen, ob mein bisheriger Lösungsansatz so richtig ist?

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