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Automorphismus und symmetrische Gruppe

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

anonymous

14:26 Uhr, 11.11.2014

Sehr geehrte Mitglieder,

Mit folgender Aufgabe habe ich Probleme:
" Seien

(G, .)

und

(H, .)

Gruppen. Zeigen Sie, dass Aut(G) eine Untergruppe von

(S (G), o)

ist."

Ich weiß, dass Aut(G):=

{

G \to G | f

ist Gruppenhomophorismus

}

und

(S (G), o)

die symmetrische Gruppe ist mit

(S (G), o) := {g : G \to G | g

ist bijektiv

]

Wenn ich beweisen soll, dass Aut(G) eine Untergruppe von (S(G),o)ist, muss ich zeigen dass Aut(G) Teilmenge von

(S (G), o)

ist und selbst eine Gruppe ist.

Mein Grundproblem ist jedoch, dass ich nicht verstehe, was überhaupt der Unterschied zwischen der Menge der Automorphismen Aut(G) und der symmetrischen Gruppe ist.
Ein Automorphismus ist ja ebenfalls bijektiv und eine Abbildung in sich selbst.
Könnte mir das vielleicht jemand nochmal erklären und möglicherweise auch ein paar Tipps für die Aufgabe geben? Danke schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:33 Uhr, 11.11.2014

"Mein Grundproblem ist jedoch, dass ich nicht verstehe, was überhaupt der Unterschied zwischen der Menge der Automorphismen Aut(G) und der symmetrischen Gruppe ist."

Symmetrische Gruppe besteht zwas aus bijektiven Abbildungen, aber ist nicht auf einer Gruppe definiert, sondern einfach auf einer Menge. Dazu nur auf einer endlichen Menge.

G

muss nicht endlich sein, muss aber eine Gruppe sein.

"Ein Automorphismus ist ja ebenfalls bijektiv und eine Abbildung in sich selbst."

Aber nicht nur das. Es ist auch ein Homomorhismus. Und nicht jede Abbildung ist ein Homomorphismus.

anonymous

14:53 Uhr, 11.11.2014

Also:
Die symmetrische Gruppe ist auf eine Menge definiert

(\in

der Aufgabe ist das

G

)und hat eine zweistellige Verknüpfung

(

in der Aufgabe ist das

o),

sodass bijektive Abbildungen

G \to G

entstehen.
Sie haben geschrieben, dass die Menge auf die sie definiert ist, endlich sein muss.

G

muss das aber nicht sein. Wie ist das zu verstehen?

Und die Automorphismengruppe ist auf eine Gruppe definiert

(\in

der Aufgabe

(G, .)

und es entstehen bijektive Abbildungen, die ein Homorphismus sind, also

f (x \cdot y) = f (x) \cdot f (y)

.

Könnten Sie mir eventuell mal ein Beispiel für eine Autmorphismengruppe und eine symmetrische Gruppe geben?

DrBoogie aktiv_icon

15:14 Uhr, 11.11.2014

Symmetrische Gruppe

S_{3}

:
alle Bijektionen

{1, 2, 3} \to {1, 2, 3}

.

Weitere Einzelheiten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe.

A u t (G)

für eine unendliche Gruppe

G

G = Z

, dann

A u t (G)

- alle homomorphe Bijektionen

Z \to Z

, davon gibt's nur zwei:

x \to x

und

x \to - x

, also

A u t (Z) = Z_{2}

A u t (G)

für eine endliche Gruppe

G

G = Z_{10}

, dann

A u t (G)

- alle homomorphe Bijektionen

Z_{10} \to Z_{10}

, davon gibt's nur vier, definiert durch

1 \to 1

1 \to 3

1 \to 7

oder

1 \to 9

. In diesem Fall

A u t (Z) = Z_{4}

.

Weitere Einzelheiten:
http://www.millersville.edu/~bikenaga/abstract-algebra-2/automorphism-groups/automorphism-groups.pdf

RomanGa aktiv_icon

12:21 Uhr, 21.11.2017

Hallo zusammen, ich habe dasselbe Problem wie

2014

anonymous. Ich bin auf der Suche nach Untergruppen Aut(G) von symmetrischen Gruppen Sn. Jetzt lese ich hier von DrBoogie, dass es vier homomorphe Bijektionen

Z 10 \to Z 10

gibt. Allerdings gibt es die verlinkte Seite www.millersville.edu/... nicht mehr, so dass ich nicht weiter komme. Was ich weiß, ist:

Z 10 = {[0], [1], [2],

…,

[9]} =

Menge von Restklassen.
Beispiel:

[9] + [9] = [18] = [8],

18 mod 10 = 8

.
Nehmen wir eine der von DrBoogie vorgeschlagenen Bijektionen heraus:

1 \to 3

. Und worauf werden die anderen 9 Zahlen abgebildet? Das verstehe ich nicht.

DrBoogie aktiv_icon

12:33 Uhr, 21.11.2017

"Nehmen wir eine der von DrBoogie vorgeschlagenen Bijektionen heraus: 1→3. Und worauf werden die anderen 9 Zahlen abgebildet?"

Alles ist durch

1 \to 3

definiert, denn es geht hier um einen Homomorphismus.
Also folgt aus

1 \to 3

, dass

2 = 1 + 1 \to 3 + 3 = 6

. Genauso

3 = 1 + 1 + 1 \to 3 + 3 + 3 = 9

4 \to 3 + 3 + 3 + 3 = 12 = 2

(weil Modulo

10

RomanGa aktiv_icon

13:22 Uhr, 21.11.2017

Vielen Dank für die prompte Antwort, klasse. Jetzt kann ich verstehen, dass Aut(G) eine Untergruppe von

S (G)

ist.

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