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Autonome Differentialgleichung 2. Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: autonome DGL, Autonome Differentialgleichung, getrennte Variablen, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Manuel91 aktiv_icon

23:32 Uhr, 10.06.2017

Hey Leute!

Ich gehe jetzt mal das Risiko ein, dass das kompletter Blödsinn ist, was ich hier
gemacht habe aber ich poste es trotzdem und bitte euch um Rat.

Habe folgende Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie eine Lösung der autonomen Diﬀerentialgleichung:

{(y')}^{2} - 2 y \cdot y' + y \cdot y'' = 0;

y' (0) = 2; y (0) = 1

Bin das folgendermaßen angegangen:

Zuerst umgestellt auf:

y \cdot y'' = - {(y')}^{2} + 2 y \cdot y'

Nebenrechnung:

2 y \cdot y' = \frac{d y}{d x} \cdot 2 y \to 2 y \cdot d y | \int_{}

ergibt

\to y^{2} + C \to (C

wähle ich als

0)

Nun habe ich:

y \cdot y'' = - {(y')}^{2} + y^{2} | : y

y'' = - \frac{{(y')}^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{y} \to y'' = - \frac{{(y')}^{2}}{y} + y \to y'' = - y' \cdot y' \cdot \frac{1}{y} + y

Falls das bis hierher richtig war stoße ich jetzt auf ein paar Probleme..
Ich würde das ganze nämlich integrieren und komme dabei auf

y' = - y' \cdot y' \cdot (- ln (y)) + \frac{y^{2}}{2} + C

. Habe mich auch überlegt durch

y'

zu teilen
was mich dann auf

1 = - y' \cdot (- ln (y)) + \frac{y^{2}}{2} + C \to 1 = - \frac{d y}{d x} \cdot (- ln (y)) + \frac{y^{2}}{2} + C

führt..
Dann rechne ich

- C

und

\cdot d x

und erhalte:

(1 - C) d x = - d y \cdot (- ln (y)) + \frac{y^{2}}{2} \to (1 - C) d x = (ln (y)) d y + \frac{y^{2}}{2} | \int_{}

x-Cx

= y \cdot (ln (y) - 1) + \frac{y^{3}}{6} + C 2

Laut Wolframalpha ist die Lösung ohne Anfangswerte

y = C 2 \cdot \sqrt{C 1 + e^{2} x}

und davon
bin ich doch meilenweit entfernt... Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

LG Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

07:48 Uhr, 11.06.2017

Du integrierst ein Teil der Gleichung, lässt aber andere Terme stehen? :-O
Sehr kreativ. Aber leider völlig falsch.
Versuche lieber die Standardmehtode: Einführung neuer Variable.
Steht z.B. hier
de.wikipedia.org/wiki/Autonome_Differentialgleichung

DrBoogie aktiv_icon

07:50 Uhr, 11.06.2017

Oder nutze, dass

(y \cdot y^{ʹ})^{ʹ} = y y ʺ + (y^{ʹ})^{2}

Manuel91 aktiv_icon

10:16 Uhr, 11.06.2017

Wo habe ich nur einen Teil integriert?

: O

wenn dann nur aus Versehen.

Habe es mit der Einführung einer neuen Variable versucht und das sieht dann bei mir folgendermaßen aus (siehe Bild im Anhang).

fühlt sich ebenfalls sehr falsch an bzw. weiß ich nicht welchen Schritt ich dann weitermachen muss..

LG

Manuel91 aktiv_icon

10:18 Uhr, 11.06.2017

Btw ich weiß nicht warum Fotoanhänge bei mir immer quer eingefügt werden, im Original stehen sie senkrecht.

LG

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 11.06.2017

Hallo
du hast (y^2)'=2yy' einfach durch

y^{2}

ersetzt! das geht nicht.
was du mit deinem

v

gemacht hast ist auch falsch

v = y'

folgt

v' = y''

aber was machst du mit y?
versuche

v = y^{2}; u' = 2 y \cdot y'; u'' = 2 \cdot {(y')}^{2} + 2 y \cdot y''

Gruss ledum

DrBoogie aktiv_icon

17:16 Uhr, 11.06.2017

Wie gesagt, am einfachsten geht, wenn man merkt,
dass

(y \cdot y^{ʹ} - y^{2})^{ʹ} = y y ʺ + (y^{ʹ})^{2} - 2 y \cdot y^{ʹ}

, also kannst Du die Gleichung sofort integrieren und bekommst

y \cdot y^{ʹ} - y^{2} = C

Manuel91 aktiv_icon

18:01 Uhr, 11.06.2017

Danke Dr. Boogie, mir gefällt dein Ansatz sehr gut! Allerdings ist das ein Lösungsweg, den ich ohne viel zu Üben sobald nicht anwenden kann, weil ich ihn nicht sehe und das hilft mir leider bei meiner Prüfung in ein paar Tagen nicht weiter.. Danke trotzdem, werde es, so wie du auch schon gesagt hast, mit Einführung einer neuen Variable versuchen.

ledum, hast du da ein "u" und ein "v" als Variable eingeführt? Oder sollte beides eigentlich dieselbe Variable sein? Werde es mal ausprobieren und sehen ob ich auf ein Ergebnis komme!
LG

ledum aktiv_icon

18:04 Uhr, 11.06.2017

Hallo
natürlich sollten