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B hat eine LU Zerlegung

Universität / Fachhochschule

13:45 Uhr, 28.11.2020

Hallo,

ich gucke folgende Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist

A \in ℝ^{n \times n}

eine nicht notwendigerweise symmetrische, strikt positiv definite Matrix,

x^{T} A x > 0

x \neq 0

und

Q \in ℝ^{n \times n}

einer orthogonale Matrix, so besitzt

B = Q^{T} A Q

eine LU-Zerlegung.

Ich habe folgendes gemacht:

Gilt für alle

1, \dots, n - 1

dass alle Hauptminoren von

M

ungleich Null sind so besitzt

M

eine LR-Zerlegung und diese ist eindeutig bestimmt.

Da

A

strikt positiv definit folgt es dass alle Hauptminoren von

A

positiv sind.

Die Determinante von

Q

ist entweder

1

oder

- 1

.

Folgt es dann dass die Determinante und alle Hauptminoren von

B

ungleich Null sind?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

11:07 Uhr, 29.11.2020

Ich habe mir folgendes überlegt:

Wenn

B

positiv definit ist dann sind alle Hauptminoren ungleuich Null und dann hat

B

eine LU Zerlegung.

Stimmt diese Folgerung?

Um zu zeigen dass

B

positiv definit ist muss man zeigen dass

x^{T} B x > 0

und dass

B

symmetrisch ist? Oder nur den ersten Teil?

Für den ersten Teil haben wir:

x^{T} B x = x^{T} Q^{T} A Q x = (Q x)^{T} A (Q x) > 0

Für den zweiten Teil haben wir:

B^{T} = (Q^{T} A Q)^{T} = Q^{T} A^{T} Q

Wie kann aber weiter zu machen da man nicht weissob

A

symmetrisch ist oder nicht?

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