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Bahnkurve ableiten? Vektor mit t-abhängigkeit

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Geschwindigkeit, Vektor

mac-user09 aktiv_icon

18:08 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

ich habe ein Problem beim Ableiten einer Bahnkurve. Normalerweise habe ich keine Probleme mit dem Ableiten, aber hier ist etwas was ich gar nicht kenne: Komponenten des Vektors sind noch mal Abhängig von der Zeit, wie auch schon der Vektor.

r

ist ein Vektor,

r'

ist kein Vektor. Finde den Vektorpfeil nicht.

r'

ist aber der Betrag von

r

Vektor

Aufg.:

r (t) = (r' (t) cos (φ (t)), r' (t) sin (φ (t))

wie leite ich nun ab? Also

z . B

. die erste Ableitung, die gleich der Geschwindigkeit ist.

ich weiß nicht, wie ich

r' (t)

ableiten soll. Ebenso

φ (t)

Meine Lösung,

r' (t)

als konstanten Betrag anzusehen und für

Φ (t)

wt einzusetzen ist falsch.

Denn die Allgemeine Ableitung von

r' (t)

wäre ja r'(t)-Punkt, oder? Hilft mir das weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

smoka

18:31 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

die Ableitung von

r (t)

ist einfach

\dot{r} (t)

. Bei

\cos (φ (t)

musst Du noch die Kettenregel anwenden.

Gruß,

smoka

anonymous

19:41 Uhr, 02.11.2012

hi, mac-user09,
ich hab dir mal ein paar Überlegungen niedergeschrieben:

http//www.upl.co/uploads/Geschw.gif
http//www.upl.co/uploads//Geschw-76.gif

Viel Spaß beim Studieren
Gruß irrsinn

mac-user09 aktiv_icon

11:06 Uhr, 03.11.2012

Danke für die Antwort.

Habe auch schon daran gedacht, dachte nur, dass das zu einfach ist.

Ich habe nun noch den Betrag von

v (t),

also Vektor-r-Punkt berechnet. Stimmt das Ergebnis?:

| v (t) | = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{{(\frac{d}{d t} r (t))}^{2} + {(r (t) \cdot (\frac{d}{d t} φ (t)))}^{2}}

Außerdem habe ich die zweite Ableitung noch gemacht, also die Beschleunigung:

a (t) = \frac{d}{d t} (\frac{d}{d t} r (t), r (t) \cdot (\frac{d}{d t} φ (t)))

= (r

zwei Punkt, rPunkt

\cdot Φ

-Punkt

+ r \cdot φ

-zweiPunkt)

Könntest du mir sagen, ob ich das richtig gemacht habe?

anonymous

11:24 Uhr, 03.11.2012

das sollte dein Ergebnis sein:

\vec{a} = \frac{d}{d t} \vec{v} = (\overset{..}{r} - r \dot{φ^{2}}) \vec{e_{r}} + (r \overset{..}{φ} + 2 \dot{r} \dot{φ}) \vec{e_{φ}}

mac-user09 aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.11.2012

Und wie bist du auf das Ergebnis gekommen? Meins ist dann ja falsch.

Stimmt der Betrag von v?

anonymous

12:29 Uhr, 03.11.2012

zum Schreiben mit LaTex ist mir´s zu mühselig:

http//www.upl.co/uploads/Beschleunigung.gif

Gruß i

mac-user09 aktiv_icon

15:58 Uhr, 03.11.2012

Verstehe, wie du auf die Lösung für die Beschleunigung kommst, jedoch nicht warum man so so macht.
Ich dachte, man könnte Vektoren ableiten, in dem man jede Komponente für sich ableitet.

v

als Spaltenvektor wäre dann ja ohne die Einheitsvektoren. Ich habe dann einfach jede Spalte abgeleitet. Warum muss ich den Einheitsvektor jetzt mit ableiten?

Was sagst du zum Betrag von

v

aus dem obigen Post?

anonymous

16:05 Uhr, 03.11.2012

nur ganz kurz: (siehe die grobe Skizze bei meinen Notizen)
die Einheitsvektoren e_r und e_phi sind zeitabhängig!

mac-user09 aktiv_icon

16:09 Uhr, 03.11.2012

Das heißt die Regel in der beschriebenen Form gilt nur im Kartesischen Koosy.
Ansonsten müssen die Einheitsvektoren mit abgeleitet werden. Ok. Verstanden.

Und der Betrag? Stimmt der denn?

anonymous

17:11 Uhr, 03.11.2012

der Betrag scheint dich ja mächtig zu beschäftigen!

http//www.upl.co/uploads/Geschwbetrag.gif

anonymous

17:50 Uhr, 03.11.2012

also nochmal:

http//www.upl.co/uploads/Geschw-74.gif

ich denke, dass das genügt.
Gruß i

mac-user09 aktiv_icon

18:02 Uhr, 03.11.2012

Danke sehr. Nun ist es für mich transparenter.

Alles beantwortet.

PS: Hättest du evtl. auch hier noch einen Tipp? :
http//www.onlinemathe.de//forum/Tangentialvektor-Normalenvektor-einer-Bahnkurve

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