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Basis, Dimension, antisymmetrische Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

anonymous

22:59 Uhr, 28.12.2010

Hallo zusammen,

ich bräuchte dringend hilfe bei folgender aufgabe.

also vorraussetzung:

K

Körper,

n \in ℕ

und

V =

K^nxn
char

K

ungleich 2

ich soll zeigen dass

W := {A \in V : A = - A^{T}}

ein Unterraum ist, und Basis und Dimension bestimmen.

dann muss ich noch zeigen, dass

V = W + U

(wobei

U := {A \in V : A = A^{T}}

und das "+" die direkte Summe sein soll...

vielen dank für jede Hilfe.

also zum ersten teil,. ich weiß welche bedingungen für unterraum erfüllt sein müssen, weiß aber nicht, wie ich dass allgemein für antisym. matrizen zeigen soll... und wie bestimme ich eine basis davon?

hagman aktiv_icon

12:36 Uhr, 29.12.2010

A \in W

und

B \in W

\Rightarrow {(A + B)}^{T} = A^{T} + B^{T} = - A + (- B) = - (A + B)

\Rightarrow A + B \in W

A \in W

und

c \in K

\Rightarrow {(c A)}^{T} = c \cdot A^{T} = c \cdot (- A) = - (c A)

\Rightarrow c A \in W

Zusammen mit

0 \in W

ist die Unterraumeigenschaft somit klar.

Alternativ:

A \mapsto A^{T}

ist eine lineare Abbildung

K^{n \times n} \to K^{n \times n},

ebenso gilt dies daher für

φ : A \mapsto A + A^{T}

.
Dann ist einfach

W = k e r φ

und somit Unterraum.
(Ebenso ist

U = k e r (A \mapsto A - A^{T});

es gilt wegen

c h a r K \neq 2

aber auch

U = i m φ)

.

Für die Basis suche nach besonders einfachen Matrizen in

W,

die fast ausschließlich aus 0-en bestehen.

anonymous

15:40 Uhr, 29.12.2010

Erstmal vielen dank !

ich hab irgendwo gelesen, dass die einträge auf der Hauptdiagonalen immer Null sein müssen, stimmt das?

(\begin{matrix} 0 & - a & - b \\ a & 0 & - c \\ b & c & 0 \end{matrix})

also bei

3 x 3

zum beispiel so?

dann wäre eine basis

(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

stimmt das ?
und wie schreib ich das dann allgemein?

anonymous

12:59 Uhr, 30.12.2010

wie schreibt man die basis allgemein für antisym matrizen?
und kann mir noch jemand sagen wobei ich char

\neq 2

brauche. bzw was genau das bedeutet?

Fischers Riesz aktiv_icon

17:29 Uhr, 31.12.2010

probier einfach eine möglichkeit zu finden eine beliebige matrix als summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen matrix darzustellen. wenn du dann noch zeigst dass diese zerlegung (mit +) eindeutig ist,bist du fertig
die diagonalen werden auf jeden fall durch die symmetrische matrix gebildet da bei antisymmetrischen immer

a_{i, i} = 0 \forall i

gilt
für die restlichen einträge würde ich mir das so überlegen:
du kennst

a_{i, j}

und

a_{j, i}

es soll gelten

a_{i, j}^{s} + a_{i, j}^{a} = a_{i, j}

a_{j, i}^{s} + a_{j, i}^{a} = a_{j, i}

wobei

a_{i, j}^{s} - a_{i, j}^{s} = 0

a_{i, j}^{a} + a_{i, j}^{a} = 0

A^{a}

die antisymmetrische- und

A^{s}

die symmetrische matrix bezeichnet

anonymous

10:25 Uhr, 02.01.2011

Vielen vielen dank, das klingt logisch... ich denke das bekomme ich jetzt hin.
aber wie ist es mit der basis und der dimension? (siehe vorherige posts)
kann mir dazu vlt noch jemand eine rückmeldung geben?

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