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Basiswechsel
Universität / Fachhochschule
Tags: basiswechsel, Endomorphismus
 
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Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aussage: Warum folgt , dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären Vektorraumes bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner ONB gilt? Es gilt dabei folgendes: A normal genau dann wenn normal. Die Basiswechselmatrix eines unitären Endo zwischen 2 ONB ist unitär. Wie folgt dann diese Aussage? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du setzt voraus, dass 1. normal normal (ich schreibe für ). 2. Die Basiswechselmatrix für den Übergang von einer ONB zu einer anderen ONB ist unitär (). Daraus ergibt sich: normal wegen 2. und letzteres ist normal wegen 1. Gruß ermanus |
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Aber wenn ich die Basis wechsel mit unitären Matrizen, also . Aber warum sollte dieser Ausdruck normal sein? |
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Du hast doch selbst geschrieben: "Es gilt dabei folgendes: normal genau dann wenn normal". |
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Ja ich habe diese Aussage: Dann wechsel ich die Basis von A mit den Matrizen und dann? |
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Ja, dann bleibt aber doch die Normalität erhalten, wenn ich zu einer anderen ONB übergehe. |
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Aber warum denn? |
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Wie komme ich von |
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Du fragst also etwas ganz anderes :( Du möchtest wissen, warum "Es gilt dabei folgendes: normal genau dann wenn normal" der Fall ist? Das konnte man deinem Text nicht entnehmen ... |
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Ne ich wollte schon wissen, was ich formuliert habe. Anscheind verstehe ich es falsch. Du hast als 1. geschrieben A normal normal. Wie folgt das denn. Warum ist A normal wenn ich mit und multipliziere? |
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OK! Genau das sagte ich eben ... Du möchtest folgendes begründet haben: . Sind wir uns da einig? |
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Ok das hane ich jetzt nachgerechnet. Jetzt verstehe ich es. A ist normal und es gilt diese Aussage, dann ist auch A bzgl jeder ONB normal, da Basiswechselmatrizen unitär sind. Sorry ich habe mich dumm angestellt. Noch ganz kurz unitäre Matrizen haben die Eigenschaft wobei und hermitesch oder? |
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EDIT: Die müssen keineswegs hermitesch sein, und sind es eher gerade NICHT! |
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Gut:-) Ich habe noch eine Frage zur Quadrik: Zu einer Bilinearform mit gibt es eine Abbildung. Was heißt es dann die euklidische Normalform dieser Quadrik dann auszurechen. Beschreibe ich den Eno. oder was mache ich? |
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Ich kenne den Begriff der "euklidischen Normalform" einer quadratischen Form nicht. Ist damit eine Diagonalform gemeint? |
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Es geht um Hauptachsentransformation. Man versucht eine Matrix zu diagonaliseren mithilfe des Spektralsatzes und führt Translationen druch, damit man am Ende sowas wie bekommt, was eine Hyperbel ist. Wsl ist es das, was du meinst. Gibt es einen Unterschied zwischen quadratischer Form und Quadrik? Ist die Quadrik die Nullstellenmenge der quadratischen Form? |
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OK. Wie würde ich das machen? 1. Durch Translation den linearen Teil "beseitigen", so dass die Quadrik als Lösungsmenge von betrachtet werden kann mit einer symmetrischen Matrix . 2. Die Eigenwerte von bestimmen und dazu eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren berechnen. Basiswechsel zu diesr Basis durchführen: . P.S.: die Quadrik ist in der Tat die Nullstellenmenge der quadratischen Form. |
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Aso:-) der Spektralsatz ist ja dann das Werkzeug für die Diagonaliserung. Am Ende habe ich dann die Qudarik bzgl der Basis aus EV dargestellt. Aber was kann ich dadurch über meinen Abbildung aussagen? Ist Quadrik und quadratische Form das gleiche? Kann ich dann einfach Aussagen, welche Form meine Nullstellenmenge hat? |
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Manchmal nennt man auch die quadratische Form eine Quadrik. Das ist aber eher schnodderig. Eine Quadrik ist eine Hyperfläche im , die als Nullstellenmenge einer quadratischen Form entsteht. Wenn du ein bisschen Zeit hast, gebe ich dir später noch ein paar Beispiele zu diesem Thema. |
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Lass dir Zeit. Ich warte bis du Zeit hast. Kein Problem:-) Wie leitet sich die Quadrik dann egtl allgemein ab. Wenn ich betrachte, ist dann der Koordiantenspaltenvektor von . |
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So, nun mache ich mal ein Beispiel (erst mal nur eins, morgen vielleicht noch ein zweites?) Wir wollen die Menge betrachten. Die linke Seite der vorgegebenen Gleichung ist ein homogenes Polynom 2-ten Grades, also eine quadratische Form. Wir können daher die Sache auch so ausdrücken . Das charakteristische Polynom der hier auftretenden Matrix ist , so dass wir die Eigenwerte bekommen. Zu findet man als Eigenvektor , zu den Eigenvektor . Diese sind orthogonal zueinander, so dass man nach ihrer Normierung (auf die Länge 1) in eine Orthonormalbasis vor sich hat. Sei nun die Matrix, deren Spalten diese Vektoren sind, dann führt die Transformtion in diese Basis zu . Nennt man also die Komponenten der transformierten Vektoren und , so bekommt man als quadratische Form in diesen Koordinaten: . Teilt man durch , so kommt: . Das ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen und . Die Transformtion ist eine Drehung um , d.h. die "Originalellipse" liegt "diagonal" in der Ebene. Gruß ermanus |
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Tausend Dank:-) Der Algorithmus ist mir jetzt klar. Also du brauchst kein 2. Beispiel mehr machen. Warum schaut man sich so eine quadratische Form an? Du hast betrachtet. Was hast du dann damit beschrieben? Dass die Lösung dieser Gleichung ein bestimmtes Gebilde ist? |
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Hallo die 4 war eben eine Wahl, wenn du stattdessen ne andere Positive Zahl einsetzt ist es eben eine andere Ellipse. also ja es wird damit eine "Gebilde" beschrieben alle quadratischen Form= Zahl ist immer eine Kegelschnitt, also Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel. Geradenpaar. wenn die Achsen in richtung und Achse gehen, erkennt man sofort, welches davon es ist, allgemein aber nicht, deshalb bringt man sie eben in Normalform, durch Drehung. Gruß ledum |
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ich kann mit dieser Transformation die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen bestimmen. Warum nimmt man da eine Quadrik und nicht die zugeordnete Bilinearform? |
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Hallo ich versteh deine Formuliereung nicht wirklich. Es geht um Kegelschnitte, man will schnell erkennen, um welchen es sich handelt. wenn du mit der Lösungsmenge die Kurve, die beschrieben wird meinst, ja Wenn du einen Kegel mit einer Ebene schneidest ergibt ich eine Quadrik, was meinst du mit der zugeordneten Bilinearform? Gruß ledum |
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