Basiswechsel / Inverse der Koordinatendarstellung

Hallo, in meiner aktuellen Hausaufagbe muss ich fogende aufgabe lösen: es sind zwei Basen des Vektorraumes ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der reelen ${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}$ oberen Dreiecksmatrix und eine darstellende Matrix von ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bzgl. ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}$ gegeben.

$$\begin{gathered} \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1:=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right] \\ \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2:=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right] \\ \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1:=[\begin{array}{c}\begin{array}{c}-3/2\\ -1/2\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\\ 0\end{array}] \end{gathered}$$

1. Aufgabe: Bestimmen sie die Transformationsmatrix beim Wechse von B1 nach B2, indem sie zuerst die Kordinaten abbildung KB2 von V bzgl. B2 und die Inverse von KB1 bzgl. B1 berechnen.

2. aufgabe BErechnen Sie LB2.

zu 2. für LB2 hab ich $\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2:=[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\\ 1\end{array}]$ raus.

Mein Problem liegt jedoch bei der ersten aufgabe. Laut unserem Skript soll man so vorgehen:

Hier gehen wir davon aus, da ein Vektor x element von V gegeben ist. Den schreibt man dann mit den einzelnen ellementen als Skalar vor jedes Baiselemnt. Dann komme ich auf folgendes LGS:

3x1+x3=a1,1

x2=a1,2

0=a2,1

3x1 - x3 = a2,2

wobei a n,m hier für die Position in der resultierenden Matrix KB2 steh. Mein Problem ist jedoch das an diesem Punkt im Skript nicht näher erleuter wird und ich gar kein Vektor x gegeben habe... Wie kreige ich denn jetzt KB2 raus? Und ist meine Abbildung LB2 überhaupt korrekt?

MfG

Steppo

...oder könnte es vielleicht sein, das der Vektor, da ja V eine obere Dreiecksmatrix ist, so aussieht: ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ 0\end{array}\right]?}$