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Basiswechsel und Transformationsmatrizen?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: basiswechsel, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Transformationsmatrix

Lardos aktiv_icon

19:34 Uhr, 18.02.2015

Hallo zusammen!
Ich habe momentan Schwierigkeiten mit dem verstehen des Basiswechsels über Transformationsmatrizen.

Erstmal zur allg. Transformationsmatrix:

a, a'

sind nun Basen des K-Vektorraums (VR)

V

und

b, b'

Basen des K-VR W.

Und

Φ_{a}, Φ_{b} : K^{n} \to V

sind kanonische Isomorphismen die, wenn ich das richtig verstanden habe, mir die Basisvektoren der jeweiligen Basis geben?
So hatten wir das jedenfalls in der VL:

Φ_{a} (e_{i}) = w^{i}

wobei

w^{i}

der i-te Basisvektor der Basis a ist.

Soweit so gut. Nun kommt der Punkt den ich nicht verstehe. In der VL hatten wir:

F : V \to W

A sei die Matrixdarstellung von

F

bzgl. a und

b

A'

die Matrixdarstellung von

F

bzgl.

a'

unf

b'

Dann gilt:

A' = S A T^{- 1}

wobei

T

die Matrix für den Basiswechsel von a nach

a'

und

S

die Matrix für den Basiswechsel von

b

nach

b'

sei.

Leider versteh ich das so überhaupt nicht...
1. Was ist mit Matrixdarstellung gemeint? Ich geh mal davon aus das hier:

F (x) = A \cdot x

2. Was macht es für einen Sinn Matrix A zwei Basen zuzuschreiben? Würde nicht eine Basistransformation über EINE der beiden Baden

(a

oder

b)

reichen?
3. Wieso

T^{- 1}

S

kann ich noch verstehen, denn ich will ja

b

von

A \in b'

umwandeln. Aber wenn

T

von

a \in a'

umwandelt, dann wandelt doch

T^{- 1}

von

a' \in a

um oder nicht??
4. Wieso schreibe ich

T^{- 1}

von RECHTS an A und nicht (so wie

S)

von links?

Wie ihr seht verstehe ich noch nicht wie das ganze funktioniert und hoffe ihr könnt mir ein klareres Bild davon verschaffen als es uns in der Vorlesung gemacht wurde...

Liebe Grüße,
Luca

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Lardos aktiv_icon

19:50 Uhr, 18.02.2015

Die element Symbole sind natürlich quatsch, leider wandelt der Editor mein "in" immer in

\in

michaL aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

> 1. Was ist mit Matrixdarstellung gemeint? Ich geh mal davon aus das hier: F(x)=A⋅x

Und genau da liegt der Knackpunkt. Du verstehst offenbar einen Vektor

(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

immer bzgl. der Standardbasis

x \cdot \vec{e_{1}} + y \cdot \vec{e_{2}} + z \cdot \vec{e_{3}}

.
Meist unproblematisch. Aber was machst du, wenn du den Vektorraum der Polynome über

ℝ

vom Grade kleiner gleich 2 vor der Nase hast? Wie verstehst du den Vektor

(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array})

dann?

> 2. Was macht es für einen Sinn Matrix A zwei Basen zuzuschreiben? Würde nicht eine Basistransformation über

> EINE der beiden Baden (a oder b) reichen?

Oft haben Matrizen bzgl. spezieller Basen eine besondere (evtl. sehr einfache) Form. Manchmal kann man erst an dieser Form gut erkennen, was eine Abbildung eigentlich leistet.

> 3. Wieso

T^{- 1}

S

kann ich noch verstehen, denn ich will ja b von A∈b′ umwandeln. Aber wenn

T

von a∈a′
> umwandelt, dann wandelt doch

T^{- 1}

von a′∈a um oder nicht??

Doch,

T^{- 1}

wechselt von der Basis a' in die Basis a.
Muss ja auch.

\hat{A}

soll ja von Basis a' nach b' gehen.
Dann leistet

S A T^{- 1}

von rechts(!) und der Reihe nach:

T^{- 1}

: Vektor bzgl. a' in Darstellung bzgl. a umwandeln.

A

Abbildung von Vektor bzgl. a (Definitionsvektorraum) und b (Zielvektorraum).

S

Vektor bzgl. b in Darstellung bzgl. b' umwandeln.

> 4. Wieso schreibe ich

T^{- 1}

von RECHTS an A und nicht (so wie S) von links?

Weil erst die Basis von a' nach a gewandelt wird, bevor abgebildet wird (wodurch ein Vektor bzgl. b entsteht) um anschließend wieder von Basis b nach b' zu wandeln.

Bedenke, dass

F

bzgl. der unterschiedlichen Basen einmal als

F (x) = A x

bzw.

F (x ʹ) = \hat{A} x ʹ

geschrieben werden kann.

Mfg Michael

Lardos aktiv_icon

20:11 Uhr, 18.02.2015

Vielen Dank für diese Ausführliche Antwort!
Ich glaube ich habe das ganze nun halbwegs verstanden!
Wenn ich also

F (x')

einen Vektor

x'

gebe, der bzgl. der Basis

a'

dargestellt ist, dann erhalte ich einen neuen Vektor,

y'

der bzgl. der Basis

b'

dargestellt ist?

Und genau das gleiche macht SAT^-1 mit einem Vektor

x'

bzgl der Basis

a'

ja?

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