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Bedeutung / Anwendung uneigentlicher Integrale

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Uneigentliches Integral

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21:53 Uhr, 22.01.2010

Hallo Leute,
ich bin momentan ein bisschen verwirrt, würde mich über Hilfe freuen!
Wir haben in der Schule in Physik eine Differenzialgleicung zur Beschreibung einer gewissen Funktion Hergeleitet und dabei eine Integration vorgenommen. Diese allerdings ohne Grenzen. Wir haben also mit einem "uneigentlichen Integral" integriert und danach mit der Stammfunktion

+

unbekannten Konst, weitergerechet, am Ende durch Randbedingungen die Konstanten bestimmt.
Jetzt meine Frage:
Ich habe mich gefragt warum dies auf diese Weise geht und was das zu bedeuten hat.
In meinem Mathe Buch habe ich die Erklärung für "uneigentliche Integrale" so verstanden, dass es erstmal ganz simpel um Integrationen bis zu Def.lücken / und/oder ins Unendliche geht.
Was ich mich frage, geht es allgemein (wenn nicht weiter angegeben) immer um das Integral über die gesamte theoretisch möglich integrierbare Fläche des Integranden? Also von möglichen Def.lücken bis ins Unendliche? Oder von -unendlich bis +unendlich?
Vielleicht verstehe ich dann auch die Bedeutung im Anwendungszusammenhang besser.
Danke!
Schöne Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

xx1943 aktiv_icon

22:17 Uhr, 22.01.2010

Da ist eine Begriffsverwirrung aufgetreten:

1) Wenn man die Grenzen weglässt, so berechnet ein "unbestimmtes" Integral

2) Wenn man eine sich ins Unendliche ausdehnde Fläche berechnet, so berechnet man ein "uneigentliches" Integral.

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22:55 Uhr, 22.01.2010

Hmm, mag sein...
Also wäre das doch nicht die von mir ersonnene "ganz allgemeine, die gesamte Definitionsmenge des Integrals umfassende" Integration?
Was hat das denn dann zu bedeuten?

CKims aktiv_icon

23:37 Uhr, 22.01.2010

hallo,

nehmen wir mal das beispiel

f (x) = 2 x

die Stammfunktion ist

F (x) = x^{2} + c

hinten ist jetzt die Integrationskonstante, die erstmal unbekannt ist. beim bestimmten integral ist es auch egal, wie gross die ist, denn

z . B

. ist

\int_{2}^{4} 2 x d x = {[x^{2} + c]}_{2}^{4} = 4^{2} + c - (2^{2} + c) = 4^{2} + c - 2^{2} - c = 4^{2} - 2^{2}

wie du siehst fliegt hier das

c

raus, egal wie gross diese ist. nimmst du jetzt dagegen das unbestimmte integral

\int 2 x d x = x^{2} + c

bekommst du eine Funktion, nennen wir die mal

S (x)

S (x) = x^{2} + c

Rechnen wir also analog

S (4) = 4^{2} + c

und vergleichen das jetzt mal mit dem bestimmten integral, dann siehst du, dass eigentlich nur die obere grenze des bestimmten integrals berechnet wurde. in dem

c

steckt jetzt also die untere grenze von

- 2^{2}

. (ist ein bisschen bloed gesagt, aber ich hoffe du weisst was ich meine).

Es wird also einfach "die untere Grenze" weggelassen und gesagt, dass man ja die untere grenze beliebig waehlen kann. Sinn macht das in der physik, wenn

z . B

. ein Kondensator schon vorgeladen ist, bevor ein experiment gestartet wird. man "stellt" dann das

c

dementsprechend ein.

hoffe das war einigermassen verstaendlich

lg

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00:26 Uhr, 23.01.2010

Ok, also noch einmal zusammenfassend:
Beim unbestimmten Integral integriere ich aus dem Integranden die Stammfunktion

+ C

wobei die Variable

(z . B

x)

in der Stammfunktion sozusagen die dabei bereits eingesetzte "obere Grenze" ist. Die Konstante

C

gibt die nicht eingesetzte untere Grenze an. Bei Auflösen der Gleichung in der

C

vorkommt und ggf am Ende ermitteln der Konstante über Randbedingungen kann diese dann bestimmt werden.
Das kommt letztlich auf das Gleiche hinaus wie das "gewöhnliche integrieren" durch Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion.
Man könnte das also die unbestimmte Integration als Vereinfachung darstellen?
Stimmt das so?
Wenn ja, glaube ich, ich habe es verstanden.
Vielen Dank!

CKims aktiv_icon

00:35 Uhr, 23.01.2010

genau,

bei physikalischen aufgaben ist das

c

naemlich oft immer gleich. so nach dem motto am anfang laufe ich immer dort los. oder der kondensator ist bei systemstart immer so viel aufgeladen...

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00:46 Uhr, 23.01.2010

Ok, danke!

Und welches

C

meinst du jetzt mit das ist oft gleich bei physikalischen Aufgaben?
Das

C

welches man am Ende bei einer Funktionsermittlung über eine komlexere Gleichung noch dastehen hat (also wenn man

z . B

. mehrfach nach dem "unbestimmten Verfahren" integriert oder die Gleichung umformt und dabei

z . B

. auf

3 \cdot C

trifft und dafür dann

C 2

schreibt.. usw, und am Ende dann auf ein anderes

C

kommt als das welches man zu Beginn als "untere Grenze eingesetzt in die Stammfunktion" bezeichnet hatte), oder das

C

was sich direkt nach dem Integrieren eines Integrals zu Stammfunktion

+

Konstante ergeben hat ?

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00:49 Uhr, 23.01.2010

das

C

nimmt in beiden bereichen dieselbe rolle ein. es geht darum eine freie konstante zu haben um die anfangsbedingungen festlegen zu können.

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00:57 Uhr, 23.01.2010

Ok, also geht es im Prinzip darum, zu definieren: Ich möchte beim Integrieren noch nicht sagen, nach welcher unterer Grenze ich integrieren möchte. Sondern ich möchte das erst definieren wenn ich mir die ganze Gleichung mit der "freien Konstanten" anschaue, und dann diese Konstante passend definieren kann. Durch diese Festlegung mache ich es dementsprechend auch mit der "unteren Grenze" nach der zuvor integriert wurde "passend".

CKims aktiv_icon

01:02 Uhr, 23.01.2010

den letzten satz habe ich nicht verstanden...

vielleicht nochmal in meinen worten am schluss.

Ich möchte beim Integrieren noch nicht sagen, nach welcher unterer Grenze ich integrieren möchte. Sondern ich möchte das erst definieren wenn ich mir die ganze Gleichung mit der "freien Konstanten" anschaue, und dann diese Konstante passend definieren kann. Damit habe ich meine Anfangsbedingungen gefunden und implizit die untere grenze definiert. wenn ich jetzt bei