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Bedingte W-keit und Simpson-Paradoxon

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Mathestud1 aktiv_icon

09:26 Uhr, 16.04.2020

Hallo Forum,

anbei zwei übriggebliebene Teile von Fragen zum Beweisen, bei denen ich nicht wirklich weiterkomme:

1)(Rechenregeln für elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten). Es sei(Ω,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige:
a)

\sum_{A \in A}

P(A|B) = 1 für jede Quasipartition A von Ω

b) Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit P(A) = P(A|B)P(B)+P(A|Bc)P(Bc) falls P(B)P(Bc) > 0

2)
a) P(A|·) ist in aller Regel nicht monoton

b) Simpson-Paradoxon.
Es gibt Wahrscheinlichkeitsmaße P,Q auf einem selben Grundraum Ω und zwei Ereignisse A,B ⊆Ω derart, dass einerseits P(A|B) < Q(A|B) und P(A|Bc) < Q(A|Bc), und andererseits P(A) > Q(A) gilt. (Hinweis: #Ω=4 reicht.)

ermanus aktiv_icon

13:30 Uhr, 16.04.2020

Hallo,

was ist bei euch eine Quasipartition?
ist damit eine Familie

(A_{i})_{i \in I}

von Teilmengen von

Ω

gemeint mit

⋃_{i \in I} A_{i} = Ω

und

P (A_{i} \cap A_{j}) = 0

für

i \neq j

?

Gruß ermanus

HAL9000

16:43 Uhr, 16.04.2020

Das Simpson-Paradoxon war mir so noch nicht bewusst. Mit ein wenig Bastelei bekommt man ein Beispiel hin, z.B. das hier:

Ω = {1, 2, 3, 4}

mit

A = {1, 2}

und

B = {1, 3}

sowie den beiden Verteilungen

P = \frac{1}{24} (6, 3, 4, 11)

und

Q = \frac{1}{12} (2, 2, 1, 7)

auf

Ω

.

Bei 2a) genügt die Angabe von

A, B, C, D

mit

B \subset C \subset D

und

P (A ∣ B) < P (A ∣ C) > P (A ∣ D)

, damit sind beide möglichen Monotonierichtungen widerlegt. Das erfüllt z.B. die diskrete Gleichverteilung auf

Ω = {1, 2, 3, 4}

mit den Ereignissen

A = {2, 3}, B = {1, 2}, C = {1, 2, 3}, D = {1, 2, 3, 4}

ermanus aktiv_icon

16:56 Uhr, 16.04.2020

Hallo,

HAL9000, da hast du aber prima rumgebastelt, ich habe es irgendwann aufgegeben ;-)

Zu 2a. habe ich eine "kleinere" Lösung,

Ω = {1, 2, 3}

mit Gleichverteilung und

A = {1, 3}, B_{1} = {1}, B_{2} = {1, 2}, B_{3} = {2}

Man hat

B_{1} \subset B_{2}

und

P (A ∣ B_{1}) = 1 > 1 / 2 = P (A ∣ B_{2})

,
aber

B_{3} \subset B_{2}

und

P (A ∣ B_{3}) = 0 < 1 / 2 = P (A ∣ B_{2})

Gruß ermanus

HAL9000

17:46 Uhr, 16.04.2020

> HAL9000, da hast du aber prima rumgebastelt, ich habe es irgendwann aufgegeben

Falls es dich tröstet: Ich hatte trotz schon etwas gezieltem Vorgehen beim Suchen (

p_{1} > q_{1}

und

p_{2} < q_{2}

) auch erst drei oder vier Fehlversuche beim Aufstellen von

P

und

Q

Mathestud1 aktiv_icon

09:07 Uhr, 17.04.2020

Erstmal vielen Dank für Eure Mühe (die 2 dürfte damit gelöst sein :-) ) und entschuldigt, dass ich erst jetzt antworte.

@ermanus: Ja, in dem Sinne hatten wir eine Quasipartition auch definiert

Man könnte bei der 1a doch bestimmt auch folgenden Satz verwenden, den ich in einem vorherigen Kapitel über elementare W-keitsräume gefunden habe?:

Es sei Ω eine Menge und es sei P :

2^{Ω}

eine Funktion mit den Eigenschaften

\sum_{A \in A}

P(A) = 1 für jede Quasipartition A von Ω (totale Additivität und Normiertheit). Wobei (Ω,P) elementarer Wahrscheinlichkeitsraum, mit dem (elementarem) Grundraum Ω und dem (elementaren) Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω.

HAL9000

10:25 Uhr, 17.04.2020

Wenn ich das richtig verstehe, dann geht es hier aber nur um höchstens abzählbare

Ω

, oder?

Ansonsten wird das mit der ggfs. überabzählbaren Summe

\sum_{A \in A} P (A)

schon definitionsmäßig höchst problematisch...

ermanus aktiv_icon

10:46 Uhr, 17.04.2020

Ich meine, es reicht zu fordern, dass die Quasipartitionen

(A_{i})_{i \in I}

eine abzählbare Indexmenge besitzen;
denn dann kann man wohl stets die

σ

-Additivität von

P

formulieren.
Gruß ermanus

HAL9000

10:50 Uhr, 17.04.2020

Gut möglich. Mich hat nur eben dieses

2^{Ω}

irritiert, denn man hat ja quasi die ganze Maßtheorie erfunden, weil man eben nicht für alle

Ω, P

auf ganz

2^{Ω}

hantieren kann. ;-)

ermanus aktiv_icon

11:01 Uhr, 17.04.2020

Ehrlich gesagt bin ich kein Wahrscheinlichkeitstheoretiker,
aber als zugrundeliegende Menge von Teilmengen werden wohl
allgemein nur

σ

-Algebran verwendet, z.B. die Borelschen Mengen,
die aber auf reellen Intervallen aufgebaut sind (stetige Verteilungen ...)
Die in Rede stehenden Quasipartitionen müssen aber auf jeden Fall
abzählbare Familien sein.

ermanus aktiv_icon

11:20 Uhr, 17.04.2020

Zu 1.a:

Zeige, dass
Aus

(A_{i})_{i \in I}

Quasipartition von

Ω

folgt:

(A_{i} \cap B)_{i \in I}

ist Quasipartition von

B

.
Dann benutze die

σ

-Additivität von

P

, usw ...

Gruß ermanus

Mathestud1 aktiv_icon

23:51 Uhr, 17.04.2020

Danke bis hierhin:

Ja, das hatte ich vergessen zu erwähnen, es handelt sich um eine indizierte und somit abzählbare Quasipartition.

Wenn mir jetzt noch einer bei der 1b helfen könnte wäre ich super happy :-)

ermanus aktiv_icon

08:50 Uhr, 18.04.2020

Hallo,

die rechte Seite von 1.b ist

P (A \cap B) + P (A \cap B^{c})

und es ist

A = A \cap Ω = A \cap (B \cup B^{c}) = . . .

Gruß ermanus

Mathestud1 aktiv_icon

23:04 Uhr, 19.04.2020

Vielen Dank an euch, so schwer war die 1b jetzt auch nicht, man muss nur immer auf einen Ansatz kommen was mir aber oftmals echt schwerfällt.

Viele Grüße

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