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Bedingte Wahrscheinlichkeit Diebstahl

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Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Stochastik

tommy40629 aktiv_icon

20:41 Uhr, 04.12.2014

Hi,

habe ich das richtig gerechnet?
Text ist im Bild.

Wir haben also:

• echter Alarm heult (0,995) oder nicht (0,005) unter der Bedingung, dass Dennis klaut
• Fehlalarm heult (0,001) oder nicht (0,999) unter der Bedingung, dass Dennis nicht klaut
• Dennis klaut (0,05) oder nicht (0,95)

Wir haben also ein Zweistufiges Zufallsexperiment, mit 4 Ergebnissen:
Notationen:
D=Dennis

D^{c}

=kein Dennis
A=echter Alarm

A^{c}

=kein echter Alarm
F=Fehlalarm

F^{c}

=kein Fehlalarm

Ω={

(D, A), (D, A^{c}), (D^{c}, F), (D^{c}, F^{c})

}

Wir haben diese W-keiten:
P(D)=0.05

P (D^{c}) = 1 - P (D) = 0.95

P(A│D)=0.995

P (A^{c} │ D) = 1 - P (A │ D) = 0.005

P (F │ D^{c}) = 0.001

P (F^{c} │ D^{c}) = 1 - P (F ∣ D^{c}) = 0.999

Definition der bedingten W-keit.
Seien A und B Ereignisse und sei A bekannt, also auch P(A).
Die W-keit von B unter der Bedingung von A ist def. als:

P (B │ A) = \frac{P (B \cap A)}{P (A)}

, P(A)>0
Es folgt:

P (B \cap A) = P (A) P (B ∣ A)

Multiplikationssatz.
Allgemein:

P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} │ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1})

Diesen nutzen wir auch aus für n=2.

P (A_{1} \cap A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} │ A_{1})

Die W-keit, dass die Alarmanlage Alarm schlägt, unter der Bedingung, dass Dennis am Werk ist lautet:

P (D \cap A) = P (D) P (A ∣ D)

P (D \cap A) = 0.05 * 0.995 = 0.04975 \approx 0.05

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

DrBoogie aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.12.2014

Warum nutzt Du nicht einfach die Bayes-Formel?
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Satz_von_Bayes&redirect=no

anonymous

09:38 Uhr, 05.12.2014

. .

. oder malst dir ein Vier-Felder-Diagramm auf das Papier...

tommy40629 aktiv_icon

10:13 Uhr, 05.12.2014

Ich kann mir zwar die Bayes Formel herleiten.

Sehe aber nicht, wann ich sie anwenden muss.

Dann rechne ich es noch einmal....

DrBoogie aktiv_icon

10:26 Uhr, 05.12.2014

Nun, zuerst mal stimmt das nicht:
"Die W-keit, dass die Alarmanlage Alarm schlägt, unter der Bedingung, dass Dennis am Werk ist lautet:

P (D \cap A) = P (D) P (A ∣ D)

."
Richtig wäre

P (A ∣ D)

.

Zum anderen ist in der Aufgabe eine andere W-keit gefragt, nämlich "Die W-keit, dass Dennis am Werk unter der Bedingung, dass die Alarmanlage Alarm schlägt".
Und das ist

P (D ∣ A)

.

Und nach Bayes-Formel ist

P (D ∣ A) = \frac{P (A ∣ D) \cdot P (D)}{P (A ∣ D) \cdot P (A) + P (A ∣ D^{c}) \cdot P (D^{c})}

.

Davon hast Du schon alle Größen ausgerechnet, bis auf

P (A ∣ D^{c})

, aber das ist nichts anders als Dein

P (F ∣ D^{c})

. Es ist ein Rätsel für mich, warum Du überhaupt

F

eingeführt hast, denn es ist doch klar, dass Fehlalarm und Alarm dasselbe Ereignis ist.

tommy40629 aktiv_icon

10:48 Uhr, 05.12.2014

Das mit dem Alarm und dem Fehlalarm fand ich schwer.

Weil der Alarm geht ja nur los, wenn man irgend einen Knopf oder sonst was am Versteck anfaßt. Der Alarm wird also durch eine, sagen wir mal eine Handlung ausgelößt.

Der Fehlalarm kann aber immer losgehen, ohne dass jemand am Versteck ist.

Ich sehe momentan die Aufgabe nicht, aber ich glaube, dass man P(Alarm) und P(Fehlalarm) nicht einfach addieren konnte. Genau so für P(kein Fehlalarm)+P(keinen Alarm).

Wenn man sich das im Baumdiagramm anschaut, dann ist ja in der 1. Ebene der Dennis.

----Dennis klaut----

---Dennis klaut nicht----

Am Ast von "Dennis klaut" hängen doch die 2 abzweigenden Äste:

---Alarm-----

----kein Alarm---

Und wenn Dennis nicht klaut, an diesem Ast können ja nicht die 2 abzweigenden Äste:

---Alarm-----

----kein Alarm---

hängen.

Oder ist dem doch so??

Meine Überlegung war, dass der echte Alarm durch Dennis ausgelöst wird.

Und der Fehlalarm wird ausgelöst, wenn kein Dennis da ist.

Leider kann ich diese Aufgabe nicht in Kugeln umwandeln, so wie ich es sonst gemacht habe,
dann hätte man sicher gesehen, dass man falsch denkt.

Ich probiere das mal so zu lösen.

DrBoogie aktiv_icon

10:56 Uhr, 05.12.2014

Manchmal macht Du Dich echt zu viele Gedanken. :-)

Du kannst nicht wissen, ob Dennis da ist oder nicht, denn sonst wäre die Frage nach W-keit sinnlos, sonst hättest Du Sicherheit. Und da Du nicht weißt, ob Dennis da ist, kannst Du auch nicht zwischen einem Alarm und einem Fehlalarm unterscheiden, also sind sie für Dich ein und dasselbe Ereignis. Nicht umsonst steht in der Aufgabe kein Wort über "Fehlalarm". Aber Du musst ja immer was dazu erfinden. :-)
Mit Deiner Kreativität müsstest Du Designer werden und nicht Mathe studieren. :-)

tommy40629 aktiv_icon

11:15 Uhr, 05.12.2014

Das "logische Denken" aus dem Alltag muss man ebend vergessen können. Außer man denkt immer so, wie es die Logik in der Mathematik vorschreibt.

Deshalb habe ich mir ja auch sonst immer die Aufgaben umgeschrieben, so dass es nur noch um Kugeln, Zahlen o.ä. ging.

Das werde ich gleich mal bei dieser Aufgabe probieren.

DrBoogie aktiv_icon

11:22 Uhr, 05.12.2014

"Das "logische Denken" aus dem Alltag muss man ebend vergessen können. "

Nun, ich würde sagen, "Dein persönliches logisches Denken", denn aus meiner Sicht denkst Du alles andere als logisch, auch wenn man Mathe ganz vergisst. Du denkst kreativ, aber nicht logisch. Zumindest für mich nicht.

tommy40629 aktiv_icon

14:45 Uhr, 05.12.2014

Habe die Aufgabe noch einmal durchgearbeitet und ich habe den letzten Satz völlig "überlesen".

Der letzte Satz ist aber extremst mega wichtig. Dann sieht man auch, dass man den Satz von Bayes anwenden muss.

Dann vielen Dank an alle!!!

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