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Bedingte Wahrscheinlichkeit, anwendungsproblem

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß

eXistenZ aktiv_icon

00:29 Uhr, 22.05.2014

Huhu liebe Mathe-Experten.

Ich habe ein Problem im Gebiet Stochastik/Statistik.

Folgende Aufgabe liegt zu Grunde:

Bei einer Kunstausstellung werden

12

Gemälde gezeigt, von denen

10

Original sind. Ein Kunstsammler wählt zufällig ein Bild aus, befragt aber, bevor er es kauft, eine Expertin. Diese gibt mit einer Wahrscheinlichkeit von

\frac{9}{10}

eine richtige Beurteilung ab. Wenn die Expertin das Bild für eine Fälschung hält, gibt der Sammler es zurück und wählt ein anderes.

a)

Mit welcher W'keit ist ein von der Expertin als Fälschung deklariertes Bild ein Original, mit welcher W'keit eine Fälschung?

b)

Wenn ein zweites Bild ausgewählt wird, mit welcher W'keit ist dieses dann ein Original? Definieren sie geeignete Ereignisse und verwenden sie die Notation für (bedingte) W'keit.

(4

Ereignisse, welche treffen mit bedingter W'keit zu?)

Zu meinem Ansatz:
Bei der

a)

würde ich sagen wäre die W'keit das die Expertin ein Bild als Fälschung deklariert was eigentlich ein Original ist

\frac{1}{10}

beträgt. Mit

\frac{9}{10}

ist ein Bild, welches von der Expertin als Fälschung abgetan wird auch wirklich eine Fälschung. Mach ich es mir hier schon zu einfach?

Bei der

b)

bin ich nun eigentlich absolut ratlos.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Wäre euch sehr dankbar :-)

Liebe Grüße

e Ξ

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

DrBoogie aktiv_icon

10:27 Uhr, 22.05.2014

Ich empfehle bei solchen Aufgaben immer zuerst die Ereignisse zu definieren.
Also, ich mache es so:
"

O

" =Bild ist Original",
"

F

" = "Bild ist Fälschung",
"

E x p O

" ="Expertin sagt: Original",
"

E x p F

"="Expertin sagt: Fälschung".

So, jetzt schreiben wir alles, was wir wissen, in formaler mathematischer Weise auf:

P (O) = 10 / 12

- wenn ich von 12 Gemälden eins zufällig wählen, ist das die W-keit, ein Original zu bekommen. Dementsprechend gilt

P (F) = 2 / 12 = 1 / 6

P (E x p O ∣ O) = P (E x p F ∣ F) = 0.9

- bedingte W-keiten, welche die Expertin-Beurteilungen beschreiben. Sie besagen, dass die Expertin in beiden Fällen (tatsächlich Original und tatsächlich Fälschung) mit W-keit

0.9

richtig urteilt (in diesem Fall ist leider die Aufgabenstellung unpräzise, also kann man sie unterschiedlich interpretieren, ich interpretiere sie auf die einfachste Weise).

In a) ist nach

P (O ∣ E x p F)

und

P (F ∣ E x p F)

gefragt. Sei berechnet man mit dem Bayes-Satz:

P (O ∣ E x p F) = \frac{P (E x p F ∣ O) P (O)}{P (E x p F ∣ O) P (O) + P (E x p F ∣ F) P (F)} = \frac{(1 - P (E x p O ∣ O)) P (O)}{(1 - P (E x p O ∣ O)) P (O) + P (E x p F ∣ F) P (F)}

und entsprechend für

P (F ∣ E x p F)

P (F ∣ E x p F) = \frac{P (E x p F ∣ F) P (F)}{P (E x p F ∣ O) P (O) + P (E x p F ∣ F) P (F)} = \frac{P (E x p F ∣ F) P (F)}{(1 - P (E x p O ∣ O)) P (O) + P (E x p F ∣ F) P (F)}

.

In b) ist die Aufgabe wieder mal unpräzise. Vermutlich ist gemeint:

P (

zweites Bild Original

∣

erstes Bild zurückgegeben

)

.
Dann ist das

P (

zweites Bild Original

\cap

erstes Bild zurückgegeben

) / P (

erstes Bild zurückgegeben

) =

= P (

zweites Bild Original

) / P (

erstes Bild zurückgegeben

) = 10 / (12 P (

erstes Bild zurückgegeben

) .

Und für

P (

erstes Bild zurückgegeben

)

haben nach der Formel über totale W-keit:

P (

erstes Bild zurückgegeben

) = P (E x p F) = P (E x p F ∣ F) P (F) + P (E x p O ∣ O) P (O)

eXistenZ aktiv_icon

20:14 Uhr, 28.05.2014

Vielen dank, deine Antwort war sehr hilfreich.

Ja du hast recht, leider werden uns nur solche "schwammigen" Fragen gestellt.
Ich hab mir das von dir nun ein paar mal durchgelesenen, selber gerechnet und es nachvollzogen. Vielen lieben dank.

Gruß

e X i

Chris24 aktiv_icon

16:22 Uhr, 24.09.2014

Hallo,

ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe und deine Lösung hat mir schon sehr weitergeholfen.
Allerdings verstehe ich diesen Teil bei Aufgabe

b)

nicht:

P(zweites Bild Original ∩erstes Bild zurückgegeben)/P(erstes Bild zurückgegeben)=
=P(zweites Bild Original)/P(erstes Bild zurückgegeben)=10/(12P(erstes Bild zurückgegeben)

Wäre super nett, wenn du mir sagen könntest, wieso diese Formel so umgeformt werden kann.

Matlog aktiv_icon

18:26 Uhr, 24.09.2014

Zunächst zur abkürzenden Schreibweise noch ein Ereignis:
2.O="zweites Bild Original"

Wenn ich die Rechnung von Dr. Boogie richtig verstehe, dann geht er von

P (2 . O) = \frac{10}{12}

aus.
Das stimmt natürlich nicht, da der Kunstsammler dann ein ANDERES Bild wählt.

Du solltest hier also mit

P (2 . O | O)

und

P (2 . O | F)

arbeiten.

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