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Begründung der Hesse'schen Normalform

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abstandsformel, Begründung, Hessesche Normalenform

anonymous

21:44 Uhr, 15.05.2009

Hallo ich muss die Abstandsformel der Hesse'schen Normalform begründen. In meinem Mathebuch habe ich eine Begründung gefunden, verstehe diese aber nicht.

Rechnung:

(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} 0 = (\vec{}

(AF)

+ \vec{}

(FP))

\cdot \vec{n} 0

= \vec{}

(AF)

\cdot \vec{n} 0 + \vec{}

(FP)

\cdot \vec{n} 0

= I \vec{}

(AF)I

\cdot

Ivec

(n) 0 I \cdot cos

90°

+ I \vec{}

(FP)I

\cdot \vec{n} 0 I \cdot cos

0°

= I \vec{}

(FP)I

= d

I= Betragsstriche

Danke schon mal im Voraus!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene

anonymous

11:55 Uhr, 16.05.2009

okay...

(x - a) \cdot n = 0

ist kartesische ebenengleichung, wobei

x :

variablenvektor

a :

stützvektor

n :

normalenvektor

ist.

2 neue vektoren werden definiert:

p :

vektor nicht element der ebene

f :

vektor, element der ebene und in n-richtung von

p

entfernt (geringster abstand)

(damit ist

| p - f |

schoneinmal die gesuchte größe)

für

x

wird nun der vektor

p

eingesetzt und man kann die vorerst unsinnige gleichung:

(p - a) \cdot n = (p - a) \cdot n

aufschreiben

in der differenz auf der rechten seite wird nun

f

addiert und wieder abgezogen:

(p - a) \cdot n = (p + f - f - a) \cdot n

anders geschrieben:

(p - a) \cdot n = (p - f) \cdot n + (f - a) \cdot n

das skalarprodukt ist ja wie folgt definiert:

a \cdot b = | a | | b | cos (α),

wobei

α

der eingeschlossene winkel ist.

(p - f)

zeigt ja laut definition in n-richtung, also ist der eingeschlossene winkel zwischen

(p - f)

und

n = 0

(f - a)

da beide punkte in der ebene liegen, liegt auch der komplette differenzvektor in der ebene, was bedeutet, dass er einen 90° winkel mit dem n-vektor einschließt.

einsetzen:

(p - a) \cdot n = | p - f | | n | cos (0) + | f - a | | n | cos (\frac{Π}{2})

cos (0) = 1

cos (\frac{Π}{2}) = 0

daraus ergibt sich

(p - a) \cdot n = | p - f | | n |

\frac{(p - a) \cdot n}{| n |} = | p - f |

was genau die hesse'sche normalenform ist

manchmal kommt ja bei der hesseform ein negatives ergebnis raus.. das liegt dann daran, dass PF und

n

nicht 0 sondern

180

grad einschließen..

d . h

. negatives ergebnis "rückseite" der ebene

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