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Begründung für Ähnlichkeiten an Dreiecken
Schüler Realschule, 9. Klassenstufe
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Tags: Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
 
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Ich bin in Mathe sehr schlecht und versteh diese Aufgabe hier gar nicht. Wir werden bald Schulaufgabe schreiben. B. S. Nr. 5 Begründe: Gleichseitige Dreiecke sind ähnlich. Gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich. Quadrate sind ähnlich. Mathematik; Gruppe II / III; Diesterweg-Verlag Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hi, also, geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie von der Form her übereinstimmen, jedoch lediglich unterschiedliche Größen haben. So ist . eine Strecke auch ähnlich zu einer anderen Strecke. Weil die eine Strecke ja das x-Fache der anderen ist. Genauso ist es . bei Dreiecken. Wenn alle Winkel in dem einen Dreieck genauso groß sind, wie die Winkel in einem anderen Dreieck, heißt das ja nur, dass das eine Dreieck größer oder kleiner ist als das andere, sie haben aber die selbe Form. Wenn du dir in nun ein gleichseitiges Dreieck vorstellt, haben alle Winkel 60°. Egal, welches gleichseitige Dreieck du dir anschaust. Also unterscheiden sich alle gleichseitigen Dreiecke nur durch die Änderung der Länge der Seiten. Noch eine andere Definition: Figuren sind ähnlich zueinander, wenn man sie durch eine x-fache Streckung aller Seiten kongruent machen kann. Bsp: Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlängen von 3 und ein anderes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlängen 6. Alle Winkel haben die selbe Größe (60°) und durch eine Streckung aller Seiten um den Faktor 2 kann man die beiden Dreiecke kongruent (deckungsgleich) machen. Bei ist das genauso. ALLE gleichschenkligen Dreiecke, wenn sie einen rechten Winkel haben, sind ähnlich zueinander, weil man weiß, dass ein Winkel 90° hat und die anderen beiden durch die Gleischschenkligkeit jeweils 45°. Stell dir einfach vor, dass du solch ein Dreieck hast und es in Paint größer oder kleiner machst (natürlich Shift gedrückt halten, sonst geht der rechte Winkel verloren :-P) ). Damit könntest du alle möglichen rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck mache, aber alle stammen vom selben "Ur-Dreieck". Bei Vierecken ist das etwas komplizierter. Hier reicht es nicht aus, dass alle Winkel gleich sind, denn man könnte . ein Rechteck beliebig in die Länge ziehen, die vier 90° Winkel würden beibehalten werden, aber die Rechtecke wären nicht ähnlich zueinander. Hier müssen die Seitenverhältnisse IMMER stimmen. Da bei einem Quadrat alle Seiten stets gleichlang sind, sind somit auch alle Quadrate ähnlich zueinander. Aber auch Rechtecke können zueinander ähnlich sein, wenn die Seitenverhältnisse gleich bleiben. Rechteck 1 mit und mit 5 Zu diesem Rechteck sind alle anderen Rechtecke ähnlich, die ein Seitenverhältnis haben, . und 10....oder und . Auch das könntest du dir in Paint nochmal veranschaulichen. Alle Formen, die du dort durch Halten der Shift-Taste größer oder kleiner machst, sind ähnlich zueinander, weil alle Verhältnisse gleich bleiben. Zu guter Letzt noch die Definition aus Wikipedia für Ähnlichkeit von Dreiecken (sollte man einfach auswendig lernen, dann kann nix schief gehen) "Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn -sie in zwei (und somit in allen drei) Winkeln übereinstimmen; oder -sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen; oder -sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen; oder -sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Diese Sätze werden Ähnlichkeitssätze genannt." |
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