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Benötigte Anzahl von Messungen berechnen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Messtechnik, Naturwissenschaft, Verteilungsfunktion

franschu aktiv_icon

16:42 Uhr, 06.09.2017

Guten Tag,

falls meine Frage leicht mit dem Wissen um die richtige Terminologie zu beantworten wäre, entschuldige ich mich im Voraus. Ich konnte in (nicht-mathematischer) Literatur zu dem Thema und im Gespräch mit Kommilitonen und Lehrstuhlangestellten leider nicht die Antwort ermitteln.

Ich schreibe derzeit meine Masterarbeit im Bereich der Kunststofftechnik. Dabei sollen im Labor Messungen gemacht werden, deren Genauigkeit jedoch durch unterschiedliche Effekte recht gering ausfallen. Klar ist, dass sich durch das Wiederholen der Versuche und dem Mitteln der Ergebnisse die Aussagekraft der Resultierenden Messpunkte (eigentlich Kurven, aber das sei einmal außen vor gelassen) deutlich verbessern lässt. Jedoch scheint dabei allgemein der Grundsatz "So viele wie nötig, so wenig wie möglich." zu gelten.

Mich würde aber interessieren, wieviele (normalverteilte) Messungen gemacht werden müssen, damit deren Mittelwert mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit

(z

. B.

95 %)

in einem gewissen Interval

(z

. B.

1 σ)

liegen.

Für mich erscheint es so, als sollte dies ein lösbares, mathematisches Problem sein, dessen Lösung lediglich eine Anzahl von Vorversuchen (zur Ermittlung der Verteilungsfunktion) voraussetzt. Entsprechend der Relevanz der zugrundelegenden Fragestellung kann ich mir darüber hinaus kaum vorstellen, dass diese Formel nicht weitläufig bekannt ist, nur finden kann ich sie scheinbar nicht.

Ich hoffe sehr, dass Sie (Ihr) mir weiter helfen könnt. Oder habe ich einen völligen Denkfehler und dieses Problem lässt sich schlicht generell lösen?

Mit freundlichen Grüße

franschu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

15:43 Uhr, 07.09.2017

Hossa :-)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstanden habe. Wenn du eine Messgröße

y

einmal misst, ist diese Einzelmessung mit einem mittleren Fehler

σ_{y}

behaftet. Du möchtest nun

n

Einzelmessungen durchführen und wissen, wie sich der Fehler dadurch verrignert? Dazu nehmen wir an, die Ergebnisse dieser Einzelmessungen seien

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}

. Der Mittelwert davon lautet:

\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \frac{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}}{n}

Da jede Einzelmessung

y_{i}

denselben mittleren statistischen Fehler

σ_{y}

hat, kann man den statistischen Fehler dieses Mittelwertes

\bar{y}

wie folgt über die Varianz

V

bestimmen:

V (\bar{y}) = V (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} V (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V (y_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} σ_{y}^{2} = \frac{1}{n^{2}} \cdot n σ_{y}^{2} = \frac{σ_{y}^{2}}{n}

Die Standardabweichung des Mittelwertes

σ_{\bar{y}}

ist daher:

σ_{\bar{y}} = \frac{σ_{y}}{\sqrt{n}}

Das heißt, wenn du einen Messwert

y

z.B.

n = 9

Mal misst, dann ist der Fehler des Mittelwertes

σ_{\bar{y}}

\sqrt{9}

=3 Mal kleiner als der Fehler der Einzelmessung

σ_{y}

franschu aktiv_icon

17:30 Uhr, 07.09.2017

Vielen Dank! Das ist genau die Antwort, die ich suchte.

Im nachhinein hätte ich mir die Antwort wahrscheinlich selber herleiten können, aber nachher ist man ja sowieso immer schlauer :-D)

Mit freundlichen Grüßen

franschu

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