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Berechnen der Koordinaten eines Vektor bezüglich e

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Basis Vektor, Vektorraum

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21:31 Uhr, 16.06.2020

Guten Abend erstmal und danke schon im Vorhinein für antworten! Erstmal die Angabe:

Gegeben sind folgende drei Vektoren:

a = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) b = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ λ \end{matrix}) c = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors

v = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

bezüglich der Basis, welche durch die drei Vektoren

a, b

und

c

gegeben ist

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Zum Beispiel allgemein versteh ich nicht wirklich wie das mit der Basis gemeint ist.

Durch längeres googeln und herumspielen bin ich aber auf folgendes Ergebnis gekommen. Ich stelle zuerst folgendes Gleichungssystem auf:

x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ λ \end{matrix}) + z \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

Bekomme dadurch also folgende Gleichungen raus:

1 = x + y

- 2 = x - 2 y

2 = x + y \cdot λ + z

Wenn ich diese auflöse kriege ich folgende Ergebnisse

y = 1; x = 0; z = \frac{2}{λ}

Ich bin mir aber garnicht sicher was ich da genau tue und ob das stimmt.
Vielen dank schon mal für antworten im vorhinein!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:45 Uhr, 16.06.2020

x

und

y

sind ok,

z

sollte

2 - λ

sein.

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21:51 Uhr, 16.06.2020

Danke dir für die schnelle Antwort. Und habe gerade nochmal nachgeschaut und ja

z = 2 - λ

Also somit stimmt das alles? Könnte man das irgendwie geometrisch erklären was man da jetzt genau tut? Das habe ich nicht wirklich ganz verstanden.

N8eule

22:57 Uhr, 16.06.2020

Für eine fachmännische Erklärung musst du mal in ein Mathe-Lexikon oder in deine Studienunterlagen guggen.
Ich kann dir meine anschauliche Vorstellung anbieten.
Eine Basis ist quasi ein Koordinatensystem, dessen Koordinatenachsen schiefwinklig irgendwie im Raum stehen. Dennoch beschreiben die Koordinatenachsen eindeutig jeden Punkt im Raum.
Du kannst ja mal eine Skizze von deiner Basis zu Papier bringen.
In welche Richtung zeigt deine a-Achse?
In welche Richtung zeigt deine b-Achse?
In welche Richtung zeigt deine c-Achse?
Keine Sorge, wir alle wissen bisher nicht, wie groß dein

Λ

ist. Dafür kannst du ja einfach mal eine vorläufige Annahme treffen.

So, und nun war es deine Aufgabe:
'Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors

v

bezüglich der Basis'.
Und du hast jetzt angesetzt:

x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c = x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ λ \end{matrix}) + z \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Dann hast du die Unbekannten

x, y, z

errechnet, und damit errechnet, wie weit du

>

in Richtung des a-Vektors voranschreiten musst, nämlich x-Einheiten weit,

>

in Richtung des b-Vektors voranschreiten musst, nämlich y-Einheiten weit,

>

in Richtung des c-Vektors voranschreiten musst, nämlich z-Einheiten weit,
um an den Ortsvektor

v

zu gelangen.

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12:49 Uhr, 17.06.2020

Danke dir vielmals ! Die Erklärung hat es mir um einiges klarer gemacht als in den Unterlagen. :-)

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