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Berechnen der Stammfunktion -Bruch mit x im Nenner

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

kobebryant24 aktiv_icon

16:03 Uhr, 28.02.2013

Mahlzeit!

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie die Stammfunktion der folgender Funktion:

f (x) = \frac{1}{25 - x^{2}}

Wie berechnet man das? Das Ergebnis müsste ja irgendwas mit "ln" ergeben!

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Harry20 aktiv_icon

16:17 Uhr, 28.02.2013

genau!
die aufgabe kannst du mit subtituion lösen!

was würdest du hier substituieren?

kobebryant24 aktiv_icon

16:25 Uhr, 28.02.2013

Muss man da irgendwas mit

U

einsetzen? Der Groschen ist bei mir noch nicht gefallen!

Harry20 aktiv_icon

16:26 Uhr, 28.02.2013

jop ist egal welches bustabe du nimmst, aber wir sagen einfach

u

was ist den die ableitung von ln?

kobebryant24 aktiv_icon

16:38 Uhr, 28.02.2013

\frac{1}{x}

Harry20 aktiv_icon

16:40 Uhr, 28.02.2013

ich habs etwas eilig.

hier die lösung:

f (x) = \frac{1}{25 - x^{2}}

wir substituieren

u = 25 - x^{2}

\int \frac{1}{u}

ist genau so wie

\frac{1}{x}

und das integriert ist der

ln!

integiert ist das

ln | 25 - x^{2} | + c

Harry20 aktiv_icon

16:42 Uhr, 28.02.2013

ist es verständlich?

michaL aktiv_icon

16:51 Uhr, 28.02.2013

Hallo,

@Harry20:

> ist es verständlich?

Das schon, aber leider falsch, was man gut erkennt, wenn man deine "Stammfunktion" wider ableitet.

@kobebryant24:

Bekanntlich(?) ist

25 = 5^{2}

, d.h. der Nennerterm

25 - x^{2} = 5^{2} - x^{2}

hat zwei verschiedene Nullstellen. Da kann man eine Partialbruchzerlegung

^{[1]}

machen.

Substitution macht die Sache auch nicht wirklich einfacher.

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Beispiele

kobebryant24 aktiv_icon

17:05 Uhr, 28.02.2013

Jetzt hab ich es gecheckt. Super danke!

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