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Berechnen einer arcustangens summe

Universität / Fachhochschule

Erzeugende Funktionen

Rekursives Zählen

Tags: Erzeugende Funktionen, Rekursives Zählen

Schurli aktiv_icon

10:30 Uhr, 06.04.2014

man berechne

\sum_{n = 1}^{\infty} \arctan (\frac{1}{1 + n + n^{2}})

Dazu habe ich leider keine Idee. Kann mir jemand einen Hinweis geben? Ich wäre dafür sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

11:45 Uhr, 06.04.2014

Diese Summe ist eine "alte Bekannte" mit nettem Ergebnis. Leider kann ich den Beweis dazu nicht mehr finden.
Partialsumme

: \sum_{n = 1}^{k} {tan}^{- 1} (\frac{1}{1 + n + n^{2}}) = {tan}^{- 1} (1 + k) - \frac{π}{4}

\Rightarrow

\sum_{n = 1}^{\infty} {tan}^{- 1} (\frac{1}{1 + n + n^{2}}) = lim_{k \to \infty} ({tan}^{- 1} (1 + k) - \frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}

pwmeyer aktiv_icon

12:15 Uhr, 06.04.2014

Hallo,

man wendet ein Additionstheorem - besser Subtraktkonstheorem - für den arctan an und erhält eine TeleskopReihe.

Gruß pwm

Schurli aktiv_icon

15:37 Uhr, 06.04.2014

Vielen Dank pwm für deine Hilfe, damit werde ich die Aufgabe meistern. :-)

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