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Berechnung Radius für eine Kugel

Universität / Fachhochschule

Tags: Kugelgeometrie

FlensburgerFuchs aktiv_icon

05:51 Uhr, 16.11.2023

Entschuldigung, aber nach einer langen und verzweifelten Nacht, bei der sich mein Vorhaben, eine Aufgabe eigenständig zu lösen, in Schweiss und Tränen aufgelöst hat, würde ich mich sehr über Hilfe freuen.

Erstmal Hallo, ich heiße Olli

...

. dass ich mich eigentlich FlensburgerFuchs nenne, ignorieren wir aufgrund der gegebenen Umstände vielleicht besser

: (

Folgende Frage dreht sich um eine perfekte Kugel mit einem (angenommenen) Durchmesser von

12

cm

Auf welche Länge muss ich den Radius des Zirkels einstellen, wenn ich einen Kreis auf der besagten Kugel ziehen möchte, der (wieder mit Zirkel/bei unverändertem Radius) in 5 identische Abschnitte eingeteilt werden soll.

Bei einem Radius von etwas über 6 cm nähere ich mich schon einem ganz ordentlichen Ergebnis an. Nun würde ich mich aber sehr über das korrekte Ergebnis & einen möglichst nachvollziehbaren Rechenweg freuen.

Würde mich extrem über Unterstützung freuen. Wenn ich wieder wach bin.

Bis dahin viele Grüße von Olli, dem müden Fuchs aus Flensburg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

15:30 Uhr, 16.11.2023

> Auf welche Länge muss ich den Radius des Zirkels einstellen,
> wenn ich einen Kreis auf der besagten Kugel ziehen möchte,
> der (wieder mit Zirkel/bei unverändertem Radius)
> in 5 identische Abschnitte eingeteilt werden soll.

Ok, hoffentlich habe ich das richtig verstanden: Du stellst den Zirkel auf einen Radius

a

ein, stichst irgendwo in die Kugeloberfläche und schreibst dann einen Kreis auf die Kugeloberfläche derart, dass dieser Kreis dann Umkreis eines regelmäßigen Fünfeck der Seitenlänge

a

ist?

Dann ist der Umkreisradius dieses Fünfecks gleich

r = \frac{a}{2 \sin (3 6^{\circ})}

.

Andererseits gilt mit Kugeldurchmesser

D

die Gleichung

\sqrt{D^{2} - a^{2}} \cdot a = D \cdot r

, diese Gleichheit kriegt man raus über die Flächengleichheit eines gleichschenkligen Dreiecks im Schnittbild. Beides zusammen ergibt

\sqrt{D^{2} - a^{2}} \cdot a = D \cdot \frac{a}{2 \sin (3 6^{\circ})}

D^{2} - a^{2} = \frac{D^{2}}{4 \sin^{2} (3 6^{\circ})}

a^{2} = D^{2} (1 - \frac{1}{4 \sin^{2} (3 6^{\circ})})

Ohne Beweis sei mitgeteilt, dass

\sin (3 6^{\circ}) = \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4}

gilt, es folgt

a^{2} = D^{2} (1 - \frac{4}{10 - 2 \sqrt{5}})

a^{2} = D^{2} (1 - \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{20})

a^{2} = D^{2} \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{20}

a = D \cdot \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{10}

Bei deinen

D = 12 c m

ergibt das

a \approx 6.309 c m

.

EDIT: Beim nochmaligen Nachdenken merke ich gerade, dass ich mir die Rechnung hätte sparen können, wenn ich das ganze gleich richtig eingeordnet hätte:

a

ist die Seitenlänge eines Ikosaeders mit Umkugeldurchmesser

D

. ;-)

FlensburgerFuchs aktiv_icon

19:28 Uhr, 16.11.2023

Lieber HAL9000,

WOW, trotz meines (durch schlaftrunkenheit) sehr caotisch geratenen Textes hast Du mir sehr geholfen.

Vielen herzlichen Dank für Deine Unterstützung und fG aus dem hohen Norden!!!!

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