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Berechnung Schnittpunkt zweier Vektoren
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Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Hallo zusammen, zuerst einmal, ich bin Newbie sowohl hier im Forum als auch auf dem Gebiet der Vektorrechnung. Das liegt daran, dass ich nicht Mathematik, sondern Medizin studiere. Deshalb gleich vorweg: habt Nachsicht mit mir. Ich bin Hobbypilot und programmiere gerade eine Kurskorrektursoftware, die mir den korrigierten Kurs von Punkt A nach Punkt geben soll, wenn der Faktor Wind miteinbezogen wird. Zur Theorie: Man berechnet den korrigierten Kurs entweder per Rechenschieber oder zeichnerisch. Für den gewünschten zeichnerischen Ansatz sind folgende Daten gegeben: 1. Vektor: Flugroute Strecke zwischen Punkt A (Abflug) und Punkt (Ziel) mit definierten Koordinaten im 2D-System West/Ost, Nord/Süd) 2. Vektor: Wind Strecke zwischen Punkt A und Punkt wobei die Distanz der Windstärke entspricht (Länge gegeben) und die Koordinaten von Punkt aus Ursrpung und Länge errechnet werden müssen (Windrichtung) 3. Vektor: Gerade mit definierter Länge (Geschwindigkeit des Flugzeugs) und definiertem Ursprung an Punkt die exakt am Endpunkt ihrer Länge die erste Gerade (Flugroute) treffen soll. Das Ziel des ganzen ist dann die Berechnung des Schnittwinkels des 1. und 3. Vektors (Luvwinkel genannt). In einer Zeichnung im Anhang habe ich das Ganze schematisch verdeutlicht. Ich kann mir aus dem Schulwissen grob vorstellen, dass das Ganze per Vektorrechnung möglich ist, allerdings habe ich leider keine Ahnung mehr, wie das funktionieren könnte. Hat jemand einen Vorschlag für mich, wie ich an die Sache rangehe? Danke bereits im Voraus! Viele Grüße Martin  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Schnittpunkte bestimmen |
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Hallo Martin, Das geht mit dem Sinussatz de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz. Hier de.wikipedia.org/wiki/Winddreieck#Rechnerisches_Verfahren ist es erklärt. Wenn Du Fragen zu Details hast, so frage nach. |
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Hallo Werner, herzlichen Dank für die schnelle Antwort! Das sieht an sich ja viel unkomplizierter aus als ich dachte. Somit kann ich nach Umstellung der Gleichung meinen Luvwinkel (WCA) wie folgt berechnen: (WS*sin(WA))/TAS = sin(WCA) WCA Leider wird hier der Windwinkel (WA), sprich der Schnittwinkel von Vektor1 und Vektor2 in meiner Zeichnung, als gegeben vorausgesetzt. Jetzt müsste ich noch wissen, wie ich diesen berechne, dann müsste alles passen. Bevor ich jetzt mit meinem Halbwissen versuche, über Lote und Konstruierung rechtwinkliger Dreiecke die Berechnung des Winkels zu erproben, frage ich lieber gleich, ob es dafür auch einen Einzeiler gibt? :-) EDIT: Wenn ich richtig liege, dann müsste sich doch WA ganz einfach aus dem Betrag der Differenz zwischen Kurs des Vektors . 70°) und Kurs des Winds . 165°) = 95° sein, korrekt? Müsste so doch eigentlich immer funktionieren, schätze ich... Liebe Grüße Martin |
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Hallo Martin, Ja - WA ist die Differenz zwischen Kurs über Grund bzw. zum Ziel und der Richtung des Windes (Richtung IN die der Wind weht!) Wenn das ein Programm werden soll, so lass das mit dem Betrag! Es sei die Richtung in die der Wind weht und der Kurs zum Ziel, dann ist der Vorhaltewinkel ist die Windgeschwindigkeit True Air Speed -> Fahrt Lass das ganze Vorzeichenbehaftet. Falls , so ist der Steuerkurs immer kleiner als der Kurs über Grund bzw. zum Ziel. Es gilt immer: Steuerkurs = Über- bzw. Unterlauf bei 360 und 0 Grad beachten! Gruß Werner |
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Hallo Werner, sorry für den verspäteten Post, war die Tage über unterwegs. Wenn ich den WCA vorzeichenbehaftet lasse und somit einen negativen Winkel als "West-Kurs" akzeptiere, dann ist es sogar ganz nach Theorieunterricht. Allerdings frage ich mich, ob diese Formel auch funktioniert, wenn die Differenz zwischen Kurs über Grund und Windrichtung 180° ist, denn dann errechnet er mir doch den falschen Windwinkel, oder? Der Windwinkel müsste in diesem Fall dann 360-errechneten Winkel sein, oder habe ich einen Denkfehler in meinen Überlegungen? Weiterhin frage ich mich, was du mit Über-/Unterlauf bei 0/360° meinst. Vielen Dank bereits vorab. LG Martin |
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Hallo Martin, Wenn man gezeigt hat, wie etwas berechnet werden kann (z.B. mit dem Sinussatz) und man musste dabei keine Einschränkungen am Definitionsbereich machen, dann gilt das auch auch für den gesamten Definitionsbereich - also für alle Winkel. Das ist ja das Schöne an der Mathematik! Rechne doch einfach ein paar Beispiele durch. Beispiel: ; ( s.Posting vom 8.11.) ; ( s.o.) d.h. etwa Südwestwind Dann berechnet sich rein formal aus Und der Steuerkurs macht doch Sinn - Du willst in etwa Westkurs fliegen und der Wind kommt etwa aus Südwest d.h. von vorne links und daher muss man nach links, d.h. zu nummerisch kleineren Kursen vorhalten. Ein negativer Winkel ist nicht zwingend ein mehr westlicher Kurs. Er ist immer relativ zum zu sehen - siehe mein Beispiel mit Du schreibst: "...frage ich mich, was du mit Über-/Unterlauf bei 0/360° meinst" Nimm das Beispiel von oben - nur mit und . Die Differenz ist wieder . Ob Du den Sinus von oder ausrechnest, ist dem Taschenrechner oder Computer egal. Es ist der gleiche Winkel und das Ergebnis ist immer . Also bekommt man in diesem Fall auch heraus. dann ist aber - also negativ. Kurse in der Navigation werden aber immer mit positiven Werten im Intervall angegeben. Hier müssen daher addiert werden, und man erhält den navigatorisch korrekten Kurs von Da gleiche kann passieren, wenn ein von knapp vorliegt, und nach rechts (also in diesem Fall nach Osten) vorgehalten werden muss. Dann ist das Ergebnis evt. ein von . In diesem Fall müssen vor Veröffentlichung des Ergebnisses abgezogen werden. Gruß Werner |
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Hallo Werner, vielen Dank für diese ausführliche Erläuterung. Damit ist mir sowohl die Logik dahinter klar geworden, als auch mein Denkfehler bei der Berechnung des Windwinkels. Der Überlauf/Unterlauf mach nun auch Sinn. Somit muss ich nur eine Abfrage zwischenschalten, ob der Winkel nach der Berechnung bzw. sein sollte und in diesen Fällen 360° subtrahieren bzw. addieren, um einen korrekten Kurs zu bekommen. Eine letzte Frage habe ich noch. Ich brauche auch die errechnete GroundSpeed, sprich die dritte Seite des Winddreiecks. Mein Lösungsansatz war, ebenfalls über den Sinussatz die Länge zu ermitteln. Dafür brauche ich den gegenüberliegenden Winkel, welcher mir noch unbekannt ist. Allerdings gilt ja in Dreiecken, dass die Winkelsumme 180° beträgt, somit müsste sich dieser Winkel und somit die gegenüberliegende Länge gut errechnen lassen. In zwei Übungsaufgaben habe ich diese Methode angewandt und mit zeichnerisch ermittelten Ergebnissen sowie mit Ergebnissen eines "Online-Rechners" verglichen. Interessanterweise komme ich nur bei einer der beiden Aufgaben rechnerisch auf das gleiche Ergebnis wie bei den Zeichnungen bzw. beim Online-Rechner. Hier die beiden Aufgaben: Aufgabe 1: rwK = 70° Wind = 165°, Knoten Windrichtung folglich 345° TAS Knoten Ergebnis meiner Berechnung (welche mit Zeichnung und Online-Rechner übereinstimmt): WCA = +9° (WA = 85°, errechneter dritter Winkel 86°) GS = (TAS sin(WA) Knoten Aufgabe 2: rwK = 38° Wind = 240°, Knoten Windrichtung folglich 60° TAS Knoten Ergebnis meiner Berechnung (welche bei der GS NICHT mit Zeichnung und Online-Rechner übereinstimmt): WCA = -6° (WA = 22°, errechneter dritter Winkel 152°) GS = (TAS sin(WA) Knoten Sowohl Zeichnung, als auch Online-Rechner geben jedoch Knoten statt Knoten aus. Ist doch seltsam, oder? Wo könnte mein Fehler liegen? Vielen Dank bereits vorab! LG Martin |
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Hat sich erledigt. Habe gesehen, dass ich bei Verwendung des gerundeten WCA diese Abweichung in der GS bekomme. Somit wäre das alles geklärt! Vielen Dank nochmals. Naja vielleicht eine Sache noch: Gibt es eine einfachere Methode, die GS zu errechnen? Denn mit meiner Methode muss ich erst WA und WCA in korrekter Größe berechnen, womit ich mit der vorherigen praktischen und allseits anwendbaren Funktion ja nicht weiterkomme, da ich mit einem Winkel von bspw. -275° über den Sinussatz zwar einen korrekten WCA bekomme, aber Schwierigkeiten habe, den dritten Winkel zu berechnen. LG Martin |
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Hallo Martin, mache Dir um das Vorzeichen keine Sorgen. Es gilt das oben gesagte - wir haben keine Annahmen gemacht, die den Definitionsbereich einschränken. Also muss am Ende das richtige heraus kommen! Den 'dritten Winkel' brauchst Du nicht groß berechnen. Es gilt immer Also gilt auch uneingeschränkt: mit zumal bei der Berechnung des der Wert für bereits anfällt. Merke Dir den Wert innerhalb Deines Programms und setze ihn dann für die Berechnung von ein. Überlegung: Ist (und ) so ist i.A. auch . D.h. beide Sinus-Werte sind i.A. <0 und damit wird der Wert für >0! Falls tatsächlich mal für ein Wert von <0 heraus kommt, so ist das auch korrekt, falls der Gegenwind zu stark wird! Gruß Werner PS.: ich sehe gerade, dass ich in meinem Beitrag von "21:14 Uhr, 11.11.2016" in der ersten Berechnung von den vergessen habe, |
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Hallo Werner, ok das leuchtet ein. Mathematik ist doch was feines! Ich tue mich bei solchen Formeln immer schwer, da ich versuche, es zu verstehen und mir vorzustellen, warum es in jedem Fall Gültigkeit hat. Das führt dann dazu, dass ich versuche, mir alle möglichen Konstellationen dieses Winddreiecks vorzustellen und das führt bei mir schnell zur Verwirrung. Ich weiß nicht, ob das daran liegt dass ich kein Mathematiker bin oder ob es jedem so geht. Auf jeden Fall ist die Formel top und funktioniert auch einwandfrei. Vielen Dank für den Support. Beste Grüße Martin |
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