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Berechnung Sekante

Schüler

Tags: Sehnenstück, Sekante, Vektorgeometrie

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12:48 Uhr, 12.01.2012

Hallo zusammen

Ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Gegeben ist der Kreis

k

M = (14,2)

mit Radius = Wurzel(125). Eine Sekante

f

ist durch den Punkt

P = (0,4)

so zu legen, dass der Kreis

k

aus ihr ein Sehnenstück der Länge

10

herausschneidet. Berechnen Sie den Abstand von

M

f

und die Gleichung von

f

.

Ansatz:

Die Kreisgleichung ist

k : {(x - 14)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 125

f :

(x,y)=(0,4)+t*(ax,ay)

Punkt

A = (x 1, y 1)

und Punkt

B = (x 2, y 2)

sind die Schnittpunkte der Sekante mit dem Kreis.

der Abstand AB ist also: Wurzel((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

= 10

Ich kann jetzt A und

B

jeweils in die Kreisgleichung einsetzen.

Ich habe also 3 Gleichungen für 4 Unbekannte.

Wer kann mir helfen? Ist mein Ansatz richtig und falls ja, wie finde ich die 4. Gleichung?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Bummerang

13:01 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

ich würde etwas anders vorgehen:

Bei gegebenen Kreis und gegebener Sekantenlänge ist die Lage der Sekante für die Berechnung des Abstandes irrelevant. Du kannst die Sekante überall einzeichnen und die beiden Schnittpunkte mit dem Mittelpunkt verbinden. Es ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Kantenlängen Du kennst. Der Abstand von

M

von

f

ist dann die Höhe des Dreiecks und die teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Also läßt sich der Abstand von

M

von

f

allein mittels Pythagors errechnen. Jetzt machst Du Dir eine Skizze mit einem Kreis um

M

mit dem Radius des Abstandes, den Du eben errechnet hast. Dann hast Du irgendwo außerhalb Dein

P

und wenn Du von

P

an den kleineren Kreis die Tangenten legst, dann sind das Deine beiden möglichen

f

. Verbinde

M, P

und die beiden Berührpunkte, dann erhältst Du zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke, bei denen Du zwei Seiten kennst, denn der Abstand von

M

und

P

läßt sich leicht errechnen, der Abstand von

M

und dem Berührpunkt hast Du durch die vorherigen Berechnungen. Also errechnest Du mittels Pythagoras den Abstand von

P

zu den Berühpunkten. Jetzt stellst Du die beiden Kreisgleichungen auf für die Kreise um

M

mit dem Radius gleich dem Abstand von

M

von

f

bzw. Berührpunkt und dem Kreis um

P

mit dem Radius gleich dem eben errechneten Abstand von

P

zu den Berührpunkten. Jetzt kannst Du die beiden Kreise schneiden lassen und damit die Berührpunkte errechnen. Mit den errechneten Punkten und

P

ist es dann leicht, die Geradengleichungen aufzustellen.

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13:25 Uhr, 12.01.2012

Vielen Dank! Diese Antwort hat mir sehr geholfen.

Also:

h^2+5^2=Wurzel(125)^2

- \to h = 10

PM = Wurzel((14-0)^2+(2-4)^2)) = Wurzel(200)
Abstand PA (A=Berührungspkt auf Sekante mit kleinem Kreis): Wurzel(200)^2 = 10^2+PA^2

- \to

= 10

k : {(x - 14)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10^{2}

k'

P

mit Radius PA:

{(x - 0)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 10^{2}

Eine vielleicht etwas banale Frage bleibt: Und zwar: wie finde ich jetzt die Schnittpunkte von

k

und

k'

Bummerang

13:29 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

multipliziere in beiden Gleichungen aus und stelle beide nach

x^{2} + y^{2}

um. Dann erhältst Du eine Geradengleichung entweder der Form

y = g_{x} (x)

oder die Umkehrung

x = g_{y} (y)

. In diesem Fall hier ist die zweite Form besser gereignet, denn da kann man schnell errechnen

x^{2} = {(g_{y} (y))}^{2}

. Das setzt man in die zweite Kreisgleichung ein und man erhält eine quadratische Gleichung in

y

. Die beiden Lösungen

y_{1}

und

y_{2}

ergeben dann mittels

x_{1} = g_{y} (y_{1})

x_{2} = g_{y} (y_{2})

die Koordinaten der beiden gesuchten Schnittpunkte!

PS: gelöscht, weil grober Unfug!

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13:38 Uhr, 12.01.2012

Entschuldigung, aber das verstehe ich jetzt überhaupt nicht.

Also ausmultipliziert habe ich die beiden Kreisgleichungen:

x^{2} - 28 x + 196 + y^{2} - 4 y + 4 = 100

x^{2} + y^{2} - 8 y + 16 = 100

Was genau muss ich jetzt machen?

Bummerang

13:53 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

"stelle beide nach

x^{2} + y^{2}

um"

Ich mach das mal für die zweite Gleichung:

x^{2} + y^{2} = 8 \cdot y + 84

EDIT: Zur Kontrolle der Rechenergebnisse hänge ich mal ein Bild an.

k -

gegebener Kreis

k_{M} -

Kreis um

M

mit Radius

10

k_{P} -

Kreis um

P

mit Radius

10

B_{1}

und

B_{2}

sind die Berührpunkte der Tangenten an

k_{M}

durch

P

f_{1}

und

f_{2}

sind die beiden Sekantengleichungen

s_{1}

und

s_{2}

sind die Sekantenlängen

Die komischen Nachkommastellen kommen durch die Rundung von

\sqrt{125}

zustande, die das benutzte Programm automatisch durchführt. Deshalb ist auch

{(\sqrt{125})}^{2}

nicht genau

125

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14:19 Uhr, 12.01.2012

x^{2} + y^{2} = 28 x + 4 y - 96

x^{2} + y^{2} = 8 y - 84

\to 28 x + 4 y - 96 = 8 y + 84

\to y = 7 x - 45

Das jetzt einsetzen in die Gleichung (II) gibt mir

x, y

dann via

7 x - 45,

schon habe ich die beiden Schnittpunkte!

Sollte jetzt klar sein, vielen Dank!!!

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14:23 Uhr, 12.01.2012

Ich habe auch die gleichen Punkte bekommen

(A = (8,10)

und

B = (6, - 4))

und dann für

f 1 : y = \frac{3}{4} x + 4

f 2 : y = - \frac{4}{3} x + 4

Nochmals vielen Dank auch für deine grafische Darstellung!

Bummerang

14:24 Uhr, 12.01.2012

Hallo,

in Deiner ersten Gleichung im vorletzten Post sind die

- 96

falsch. Du mußt 3 Zahlen zusammenfassen: die

196

und die 4 auf der linken Seite und die

100

auf der rechten! Das ergibt zusammen

- 100

und nicht

- 96

.

Wie Du trotzdem auf die richtigen Ergebnisse kommst, ist mir allerdings unklar...

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20:50 Uhr, 20.01.2012

Naja, ich hatte damals das Gleichungssystem schnell mit dem TR ausgerechnet wegen Zeitmangel und erst später dann noch von Hand. Dann ist mir der kleine Rechenfehler auch noch aufgefallen. Vielen Dank für die gute Hilfe!

Lieber Gruss, Andrea

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