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Berechnung Volumen Silo

Universität / Fachhochschule

Tags: Berechnung geometrische Figuren

Rusty29 aktiv_icon

19:39 Uhr, 26.12.2020

Hi,

die Aufgabe bezieht sich auf einen geometrischen Körper, welcher aus einem Zylinder und einem Kegel mit kreisrunder Grundfläche zusammengesetzt ist. Das Gesamtvolumen soll

60 m^{3}

betragen. Die Höhe des Zylinder ist nicht bekannt und wird mit

h 1

bezeichnet. Es ist angegeben, dass sich die Höhe des Kreiskegels (bezeichnet mit

h 2)

zu dem Radius des Kreiskegels wie

5 : 4

verhält. Zusätzliche Maßgabe ist, dass bei der Realisierung möglichst wenig Material verwendet werden soll.

Damit die Körper bündig miteinander verbunden sind, müssen der Radius des Zylinders und des Kreiskegels übereinstimmen. Ich habe eine Skizze angefertigt und

h 2

durch den Ausdruck

\frac{5}{4} r

ersetzt.
Meine Gleichung für die Berechnung des Volumen lautet:

π \cdot r^{2} \cdot h 1 + \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \frac{5}{4} r = 60 m^{3}

Ich bin mir unsicher, ob für das Kriterium wenig Material eine größere Höhe oder ein breiterer Durchmesser sinnvoll ist.

Ich kenne weder den Radius noch

h 1

. Brauche ich noch eine weitere Gleichung? Wie kann man hier weiter machen?

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

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20:01 Uhr, 26.12.2020

Du kannst

h_{1} \in r

ausdrücken.

Stelle die Oberflächenformel auf in Abhängigkeit von

r,

leite diese ab und
setze die Ableitung Null:

O' (r) = 0

. .

rundblick aktiv_icon

21:14 Uhr, 26.12.2020

.
"Du kannst

h_{1}

∈

r

ausdrücken."

... ... ... ... ... . .

. meint

\to

löse deine Gleichung für die Berechnung des Volumens nach

\to h_{1} = ...

. auf

und setzte diesen Ausdruck dann für das

h_{1},

das in der Oberflächen-Formel vorkommt , ein ..

\to

dann hast du die Formel für diese Oberfläche

F

als Funktion von

r

um Extrema dieser Funktion

F (r)

zu erhalten berechnest du dann die Nullstellen der ersten
Ableitung

F

(r)

usw..
mach mal:

F (r) = . .

F

´ (r)

= . .

F

´ (r)

= 0 .

\Rightarrow .

r = . .

.
usw..
.

supporter aktiv_icon

09:54 Uhr, 27.12.2020

Danke, rundblick.
Das System hat "in" wiedermal in "Element von" verwandelt.
Habs leider übersehen.

Rusty29 aktiv_icon

23:54 Uhr, 27.12.2020

Hi.

Erstmal vielen Dank für die Hilfe.

Ich habe also zunächst die Gleichung nach

h 1

aufgelöst und

h 1 = \frac{60 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{5}{4} \cdot r^{3}}{r^{2} \cdot π}

erhalten.

Ozyl.=

2 \cdot π \cdot r \cdot h 1 + 2 \cdot π \cdot r^{2}

F (r) = \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot 60 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{5}{4} \cdot r^{3}}{r^{2} \cdot π} + 2 \cdot π \cdot r^{2}

F (r) = \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot 60 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot \frac{5}{4} \cdot r^{3} + 2 \cdot π^{2} \cdot r^{4}}{r^{2} \cdot π}

F' (r) = \frac{(120 \cdot π - \frac{5}{4} \cdot π \cdot r^{2} + 8 \cdot π^{2} \cdot r^{3}) \cdot (r^{2} \cdot π) - (120 \cdot π \cdot r - \frac{5}{12} \cdot π \cdot r^{3} + 2 \cdot π^{2} \cdot r^{4}) \cdot (2 \cdot π \cdot r)}{{(r^{2} \cdot π)}^{2}}

F' (x) = \frac{120 \cdot π^{2} \cdot r^{2} - \frac{5}{4} \cdot π^{2} \cdot r^{4} + 8 \cdot π^{3} \cdot r^{5} - (240 \cdot π^{2} \cdot r^{2} - \frac{5}{6} \cdot π^{2} \cdot r^{4} + 4 \cdot π^{3} \cdot r^{5})}{{(r^{2} \cdot π)}^{2}}

F' (x) = \frac{- 120 \cdot π^{2} \cdot r^{2} - \frac{5}{12} \cdot π^{2} \cdot r^{4} + 4 \cdot π^{3} \cdot r^{5}}{{(r^{2} + π)}^{2}}

r^{2} \cdot (- 120 \cdot π^{2} - \frac{5}{12} \cdot π^{2} \cdot r^{2} + 4 \cdot π^{3} \cdot r^{3}) = 0

r = 2,13 m

h 1 = 3,31 m

Stimmt das so?

Vielen Dank!

Respon

00:08 Uhr, 28.12.2020

Es geht doch um die Oberfläche des gesamten Silos.

rundblick aktiv_icon

11:22 Uhr, 28.12.2020

.
"Stimmt das so?"

\to

Klartext: Nein

\to

wie erwähnt, Aufgabe ist

\to F (r) = F_{S i l o}

und du hast nur den Zylinder-Teil der Oberfläche

(F_{Z})

verwendet - es fehlt da noch
der Oberflächenteil des Kegels

(F_{K})

mach bitte einen neuen Versuch :
mit

\to h_{1} = (\frac{60}{π r^{2}} - \frac{5}{12} r) .

. :-)

\Rightarrow

F (r) = F_{Z} + F_{K} = ...

.
usw ..

\Rightarrow r =

; h_{2} =

; F_{M i n} =

?

.

Rusty29 aktiv_icon

17:08 Uhr, 29.12.2020

Hi.
Vielen Dank für die Anmerkungen.

Habe die Aufgabe nochmal gerechnet.

Meine Ergebnisse:

r = 1,8559 m

h 1 = 4,7716 m

h 2 = 2,3574 m

Stimmt das so?

Schonmal vielen Dank.

Enano

18:11 Uhr, 29.12.2020

Hallo,

"Stimmt das so?"

Erfüllen denn deine Ergebnisse zumindest die Bedingung

\frac{h_{2}}{r} = \frac{5}{4}

rundblick aktiv_icon

18:16 Uhr, 29.12.2020

.
"Habe die Aufgabe nochmal gerechnet."

.. das ist die positive Aussage ..

deshalb habe ich das auch nochmal versucht
leider habe ich andere Ergebnisse und falls nun meine Werte richtig wären
kann ich dir aber leider nicht sagen,
ob (und wenn ja

: -

wo ) du andere Wege eingeschlagen hast und ob dir dann
irgendwo vielleicht ein Fehler passiert sein könnte

. .

\to

denn du hast deinen Weg ja nicht notiert...

mal so:
können wir uns einigen über den Start
mit dieser Formel für die Gesamt-Oberfäche

F

des Silos

\to

F (r) = 2 π r \cdot (\frac{60}{π r^{2}} - \frac{5}{12} r) + π r^{2} + π r^{2} \cdot (\frac{\sqrt{41}}{4})

Zylindermantel

↑ +

Z.-Boden

↑ + ↑

KegelMantel

willst du vielleicht nun weitermachen?: .. Formel für

F

vereinfachen.. ableiten .. usw,usw,..

\to . .

.
.

Rusty29 aktiv_icon

20:31 Uhr, 29.12.2020

Vielen Dank.

rundblick aktiv_icon

22:10 Uhr, 29.12.2020

.
"Vielen Dank."

wofür?

.

Rusty29 aktiv_icon

14:14 Uhr, 31.12.2020

Vielen Dank für das Notieren des Ansatzes.

Ich habe eine Kreisfläche vom Zylinder und die Grundfläche vom Kreiskegel berücksichtigt. Ich denke mit dem korrekten Ansatz konnte ich nun die Aufgabe richtig lösen.

Rusty29 aktiv_icon

14:14 Uhr, 31.12.2020

rundblick aktiv_icon

14:46 Uhr, 31.12.2020

.
"Ich denke

. .

.
mit dem korrekten Ansatz konnte ich nun die Aufgabe richtig lösen."

prima - aber es wäre doch nun auch sehr grosszügig von dir,
wenn du deine jetzt gefundene , gewiss richtige Lösung hier
aufschreiben würdest für die vielen sicher interessierten
Mitleser und Mit-denker

. .

.

ok?

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