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Berechnung der Änderungsrate

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Änderungsrate, Differentiation

Hansi22 aktiv_icon

15:39 Uhr, 08.08.2019

Servus,

gegeben ist folgende Aufgabe:

Preisabsatzfunktion:

f (p) = 50 e^{- 0,2 \cdot p}

a .)

Berechnen Sie die Ableitung f‘(p).

Bereits gelöst:

- 10 e^{- 0,2 \cdot p}

b .)

Berechnen Sie die Änderungsrate „p“ und die Elastizität in Abhängigkeit des Preises.

Meine Frage ist nun, wie ich die Änderungsrate ermittele. Ich habe noch im Kopf, dass man dies durch

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

kann. Jedoch entzieht es sich mir, wie ich das hierauf anwende um auf die Lösung

(\frac{1}{p}) - 0,2

zu kommen. Wie sind Schritte, um auf das Ergebnis zu kommen?

Vielen Dank im Voraus,

euer Hansi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

16:28 Uhr, 08.08.2019

Da wäre doch mal als erster Schritt zu klären, was denn mit
"Berechnen Sie die Änderungsrate „p“
gemeint ist.

p

ist doch der Preis! Wie kann dieselbe Bezeichnung nun plötzlich für eine Änderungsrate stehen? Oder steht in der Originalangabe da vl etwas anderes? Dann poste mal zur Sicherheit einen Scan der Aufgabe.
Außerdem - wenn man von Änderungsrate spricht, so muss man doch auch angeben, die Änderung welcher Größe untersucht werden soll und in Bezug auf welche andere Größe. Auch diese Angaben fehlen hier.

Die absolute Änderungsrate der Nachfrage bezüglich des Preises hast du ja schon durch die Ableitung

\frac{d}{d p} f (p)

bei Aufgabe

a)

richtig ermittelt.

Die relative Änderungsrate der Nachfrage bezüglich des Preises sollst du ja bei

b)

auch bestimmen, denn das ist die Elastizität

ε

. Du solltest da auf

ε (p) = - \frac{p}{5} = - 0,2 \cdot p

kommen.

Hansi22 aktiv_icon

16:36 Uhr, 08.08.2019

Jawoll, da habe ich falsch gelesen, was die Bezeichnung der Änderungsrate anbelangt. Sicherheitshalber folgt nun die Aufgabenstellung per Screenshot und Die Lösung auf die man bei

b)

kommen sollte.

Roman-22

16:45 Uhr, 08.08.2019

Das sieht ja gleich anders aus.
Es geht also um den Umsatz und dessen Änderung bezüglich des Preises.
Für die Elastizität erhalte ich das angegebene Ergebnis

ε_{U} (p) = 1 - \frac{p}{5}

.
Allerdings hätte ich "Änderungsrate

ρ . .

. des Umsatzes in Abhängigkeit vom Preis" einfach als Ableitung der Umsatzfunktion nach dem Preis interpretiert, was aber ein völlig anderes Ergebnis liefert als das, was in der Lösung als

ρ_{u} (p)

angegeben wird.
Wie ist diese "Änderungsrate

ρ

" denn bei euch definiert?

pivot aktiv_icon

16:53 Uhr, 08.08.2019

Also der Umsatz ist

U (p) = 50 \cdot e^{- 0, 2 \cdot p} \cdot p

. Die entsprechende Ableitung ist

U^{ʹ} (p) = e^{- 0, 2 \cdot p} \cdot (50 - 10 p)

Somit ist die relative (momentane) Änderung des Umsatzes gleich

\frac{U^{ʹ} (p)}{U (p)} = \frac{e^{- 0, 2 \cdot p} \cdot (50 - 10 p)}{50 \cdot e^{- 0, 2 \cdot p} \cdot p} = \frac{50 - 10 p}{50 \cdot p} = . . .

Gruß

pivot

Roman-22

17:07 Uhr, 08.08.2019

Ah ja! Der feine, kleine Unterschied zwischen der momentanen relativen Änderungsrate und der Elastizität

\to ε (p) = ρ (p) \cdot p

Für mich war die Elastizität bereits im Grunde die relative Änderungsrate

lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{f (x + Δ x) - f (x)}{f (x)}}{\frac{Δ x}{x}}

Wie immer - alles Definitionssache

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