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Berechnung der Drehwinkel zum 3D-Koordinatensystem

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Mar2017 aktiv_icon

13:43 Uhr, 13.04.2017

Hallo,
ich möchte gerne ein Koordinatensystem (KS1), welches durch drei Vektoren

(X, Y, Z)

definiert ist, so um die drei Achsen

(X, Y, Z)

rotieren, dass es auf dem globalen Koordinatensystem liegt. Meine Gedanke ist nun, jeweils den Winkel zwischen den Vektoren des KS1 und dem globalen Koordinatensystems auszurechnen.

Z . b

. möchte ich, um den Winkel um die Z-Achse zu bestimmen, den Winkel zwischen den X-Vektor des KS1 und dem Vektor der globalen X-Achse ausrechnen.

X_KS1

= a = (\begin{matrix} - 1.25 \\ 0 \\ - 1.25 \end{matrix})

X_Global=

b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

Nun Frage ich mich, ob der Gedankengang so korrekt ist. Weiterhin wenn ja, welche Drehfolge die richtige ist und welche Vektoren ich am besten nutze (statt hier im Beispiel die X-Vektoren) um die Winkel um

X

und

Y

zu berechnen.

Über Tips würde ich mich freuen.

Roman-22

14:19 Uhr, 13.04.2017

Dein "Koordinatensystem" KS1 hat also den gleichen Ursprung wie das Bezugskoordionatensystem?
Dann könntest du die drei Vektoren

X, Y

und

Z

mal auf Länge 1 normieren (ist nicht zwangsläufig nötig).
Die Reihenfolge der Drehungen kann von dir vorgegeben werden und wenn um jede der drei Bezugskoordinatenachsen gedreht werden darf, ist es auch nicht so schwierig.
Dreh zB

X

z

so, dass

X \in π_{3}

(xz-Ebene) liegt. Dann drehe (das neue)

X

so um

y,

dass

X

und

x

zusammenfallen. Jetzt drehe um

x

so, dass auch

Y

und

Z

in die richtige Lage kommen.
Das Ganze setzt natürlich voraus, dass

X, Y, Z

ein kartesisches Rechtssystem bilden, so wie wir das ja vermutlich von

(O; x; y; z)

voraussetzen dürfen.
Vielleicht hilf es dir, wenn du ein wenig über die Eulerschen Winkel nachliest.
de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel
itp.tugraz.at/LV/schnizer/Analytische_Mechanik/node9.html

ledum aktiv_icon

15:47 Uhr, 13.04.2017

Hallo
1. ist dein

K_{s}

orthogonal?
2. besser es dann zu normalisieren
3. Orientierung gleich? dann musst du nur 2 drehen, der dritte ist dann schon richtig.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

15:53 Uhr, 13.04.2017

Hallo
1. ist dein

K_{s}

orthogonal?
2. besser es dann zu normalisieren
3. Orientierung gleich? dann musst du nur 2 drehen, der dritte ist dann schon richtig.
dann zuerst

z

B, v 1

nach

e 1

drehen

, v 2

und

v 3

mitdrehen, das gedrehte

v 2

um die

e 1

achse nach

e 2

drehen.

v 3

mitdrehen fertig

Gruß ledum

Mar2017 aktiv_icon

07:28 Uhr, 18.04.2017

Guten Morgen,

entschuldidung für die späte Rückmeldung und danke für die Hilfestellungen!
@Roman-22:
Der Ursprung beider Koordinatensysteme ist identisch und

X - Y - Z

bilden ein kartesisches Koordinatensystem.

@ledum:
Die Orientierung ist leider nicht gleich, bzw. möchte ich eine allgemeine Lösung entwickeln, welche jedes Koordinatensystem um die drei Hauptachsen rotieren kann.

Viele Grüße

Roman-22

12:49 Uhr, 18.04.2017

Ich glaube, du hast ledums Frage nach der Orientierung falsch verstanden.
Es geht darum, ob beide Systeme zB wie üblich Rechtssysteme sind. Falls nicht, sind sie durch simple Drehungen nicht ineinander überzuführen, sondern man müsste auch noch eine orientierungsändernde Spiegelung vornehmen.
Ansonsten kannst du ja so verfahren, wie von mir oder von ledum skizziert.

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