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Berechnung der Höhe eines Kreisausschnitts

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 6. Klassenstufe

Tags: Höh, Kreissegment, Kreusausschnitt

doast aktiv_icon

10:40 Uhr, 18.06.2013

Hallo zusammen,

bin schon länger am rumprobieren und hab mir alle denkbaren Formeln angeschaut. Komm einfach nicht drauf.

Mein Problem:

Ich habe die Fläche eines Kreisausschnitts

(7407,41

mm²), sowie den Radius des Kreises (r=226mm).
Ich möchte nun die Höhe dieses Kreisausschnitts berechnen. Ansonsten habe ich keine weiteren Angaben. Bin am verzweifeln und hoffe jemand kann mir helfen.
Hab ein Bild der Problemstellung angehängt.

Danke vielmals

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Eva88 aktiv_icon

10:54 Uhr, 18.06.2013

\frac{7407,41}{226^{2} \cdot π} = \frac{α}{360}

Dann mit dem Cosinussatz die Grundlänge berechnen und durch 2 teilen.

Dann über den Cosinus das obere y-Stück berechnen.

226 -

oberes y-Stück ist die gesuchte Größe.

prodomo aktiv_icon

10:55 Uhr, 18.06.2013

Die Fläche des gesamten Sektors ist proportional zum Mittelpunktswinkel, also

α \cdot r^{2} (α

im Bogenmaß). Das Dreieck hat die Grundseite

2 \cdot r \cdot cos (α)

und die Höhe

r - h

. Die Differenz der Flächen ist deine gegebene Fläche.

prodomo aktiv_icon

10:57 Uhr, 18.06.2013

Sorry, du hast ja sogar die Sektorfläche gegeben, dann wird es viel einfacher. Im Bild hast du aber die Abschnittsfläche (Kreisegment) gefärbt, daher der Irrtum.

doast aktiv_icon

11:03 Uhr, 18.06.2013

Super vielen Dank an euch für die Antworten!

Matlog aktiv_icon

11:04 Uhr, 18.06.2013

@prodomo:
Ich vermute, dass Du die Aufgabe richtig verstanden hattest!
Doast hat wahrscheinlich nur den falschen Begriff (Ausschnitt statt Abschnitt) verwendet.
Aber das wird er sicher aufklären.

doast aktiv_icon

11:09 Uhr, 18.06.2013

Gegeben war die GELBE Fläche, wie auch immer diese genannt wird ;-)
Hab das Problem mittlerweile dank der Hilfe lösen können. Ursache war der falsche Begriff und ich wusste nicht, dass ich die folgende Formel anwenden muss:

Der Flächeninhalt des entsprechenden Kreisausschnittes berechnet sich wie folgt

A =

r²

\cdot

\cdot (\frac{α}{360})

DANKE

doast aktiv_icon

11:54 Uhr, 18.06.2013

Glaub da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen.
Hab nun nochmals recherchiert, was ich genau suche ist die "KREISSEGMENTHÖHE", also die Höhe der gelben Fläche.
Gegeben habe ich aber lediglich die KREISSEGMENTFLÄCHE und den RADIUS des Kreises.

Die Formel die ich vorher gepostet habe ist die Flächenformel für Kreissektor.

hmmm

Matlog aktiv_icon

12:01 Uhr, 18.06.2013

Die Frage ist, wie man aus Segmentfläche und Radius den Mittelpunktswinkel

α

berechnen kann.
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie man das ohne ein Näherungsverfahren zu benutzen ausrechnen soll!?

Vom Mittelpunktswinkel zur Segmenthöhe wäre dann kein Problem.

doast aktiv_icon

12:53 Uhr, 18.06.2013

Und wie würde das mittels Näherungsverfahren

(z . B

. mit Excel) gehen?
Ist kein Beispiel aus der Schule, betrifft eine persönliche Problemstellung und mein Ehrgeiz lässt es nicht zu das Problem ungelöst zu lassen :-)

Vl kann mir jemand einen Hinweis geben?

Matlog aktiv_icon

13:19 Uhr, 18.06.2013

Das gefällt mir, wie Du Deine Motivation beschreibst!

Hier die einfachsten Formeln, auf die ich komme:

A Flächeninhalt des Kreissegments,

h

Höhe des Kreissegments

r

Kreisradius

x

Mittelpunktswinkel im Bogenmaß

α

Mittelpunktswinkel im Gradmaß

A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (x - sin (x))

im Bogenmaß oder

A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (\frac{π \cdot α}{180} - sin (α))

im Gradmaß
Dies kann ich nicht analytisch nach

x

oder

α

auflösen.

h = r \cdot (1 - cos (\frac{α}{2}))

doast aktiv_icon

13:41 Uhr, 18.06.2013

laut Formeln auf de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
gilt:

1 .) h = r \cdot [1 - cos (\frac{α}{2})]

sowie

2 .) α =

2*arccos(1-h/r)

kann ich dann nicht 2. in 1. einsetzen und erhalte folgendes:

h=r*

{

1-cos[2*arccos(1-h/r)/2]}

durch kürzen der 2er sogar:

h=r*

{

1-cos[arccos(1-h/r)]}

sollte das bisher stimmen, weiß ich nur nicht wie ich danach das

h

bzw.

r

aus dem arccos herausbekomme. Oder hebt der

cos

sogar den arccos auf?!?!

hmmm... habs gerade durchexerziert und es kommt raus

h = h; - p

das wäre also bewiesen...
aber gelöst habe ich mein problem nicht lol

Bummerang

15:17 Uhr, 18.06.2013

Hallo,

laut wikipedia gilt folgende Flächenformel:

A = r^{2} \cdot

arccos

(1 - \frac{h}{r}) - \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}} \cdot (r - h)

Diese habe ich mal in einer Takellenkalkulation als Intervallschachtelung für 8 Nachkommastellen implementiert und dafür das im Anhang dargestellte Ergebnis erhalten.

In

A 1

ist die Fläche des Kreisabschnitts in mm^2 eingegeben worden, in

A 2

der Radius des Kreises in mm. In

A 4

bis Aradius (hier also

A 226)

stehen die angenommenen Höhen. In

B 4

bis Bradius (hier also

B 226)

stehen die mit dem Radius aus

A 2

und der angenommenen Höhe berechneten Flächen. In

B 1

wird der maximale Wert aus

A 4

bis Aradius angezeigt, dessen dazugehörige Fläche kleiner als die gegebene Fläche ist. Mit 8 Dezimalstellen ergibt sich demzufolge als erste Näherung

41,00000000

als Höhe. In

B 2

wird zur Kontrolle die dazugehörige Fläche mit ausgegeben. In

C 4

bis

C 14

stehen die Flächen, die den Werten

41,0

bis

42,0

in Zehntelschritten zugeordnet sind. In

C 1

steht wieder die maximale Höhe, für die die Fläche kleiner als die gegebene Fläche ist. Die Fläche, die zu

C 1

gehört, ist in

C 2

zur Kontrolle mit ausgegeben. In Spalte

D

wiederholt ssich das für die Hundertstel, in Spalte

E

für die Tausendstel,

. .

,

in Spalte

J

für die 8-te Nachkommastelle. Das Ergebnis mit 8 Nachkommastellen (abgerundet!) steht dann in

J 1,

die dazugehörige Fläche in

J 2

. Man erkennt auch an

J 4

und

J 5,

dass das tatsächliche Ergebnis näher an dem Wert aus

J 4

als an dem Wert aus

J 5

ist,

d . h

. das abgerundete Ergebnis geht auch als gerundetes Ergebnis durch...

PS: Ich hatte zunächst ein Bild mit der Größe von 496KB anhängen wollen, was mir mit dem Hinweis, dass nur Bilder bis zur Größe 500KByte erlaubt seien, abgeleht wurde. Offensichtlich prüft man hier die Größe in Byte (es waren

507.148 B)

und dividiert das durch

1000

statt durch

1024

. Also bei Mega, Giga, Tera weiss ich ja, dass man sich da nicht einig ist, ob nun

1000

oder

1024

der Umrechnungsfaktor ist, aber bei Kilo kenne ich in der IT kein anderes Programm, das da den Umrechnungsfaktor

1000

nimmt! Also habe ich das Bild etwas reduziert...

Yokozuna aktiv_icon

16:38 Uhr, 18.06.2013

Hallo doast,

in Deiner letzten Antwort hast Du 2 Gleichungen aus de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment zitiert:

1 .) h = r \cdot [1 - cos (\frac{α}{2})]

2 .) α = 2 \cdot

arccos

(1 - \frac{h}{r})

Die Gleichung

2 .)

ist aber dasselbe wie Gleichung

1 .),

nur nach

α

aufgelöst. Wenn Du dann Gleichung

2 .)

in Gleichung

1 .)

einsetzt, kommt natürlich

h = h

heraus. Aber mit dieser Erkenntnis kannst Du Dein Problem nicht lösen.

Matlog hat schon den richtigen Vorschlag gemacht. Du hast folgende 2 Gleichungen:

1 .) A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (α - sin (α))

und

2 .) h = r \cdot (1 - cos (\frac{α}{2}))

(Winkel

α

immer im Bogenmaß)
In Gleichung

1 .)

ist nur

α

unbekannt. Diese Gleichung kann man mit einem Näherungsverfahren nach

α

auflösen. Ich schlage dazu folgende einfache Iteration vor:

A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (α - sin (α)) \Rightarrow α - sin (α) = \frac{2 \cdot A}{r^{2}} = \frac{2 \cdot 7407,41}{226^{2}} = 0,290054429 \Rightarrow

α = sin (α) + 0,290054429

Basierend auf dieser Gleichung macht man nun folgende Iteration:

α_{0} = 0

α_{n + 1} = sin (α_{n}) + 0,290054429

Damit erhalte ich folgende Werte:

α_{0} = 0

α_{1} = 0,290054429

α_{2} = 0,576058810

α_{3} = 0,834777460

α_{4} = 1,031201558

α_{5} = 1,147971384

α_{6} = 1,201987828

α_{7} = 1,222811978

α_{8} = 1,230116395

.
.

α_{22} = 1,233809750

α_{23} = 1,233809750

α_{22}

ändern sich die ersten 9 Stellen nach dem Komma nicht mehr. Wir haben also

α = 1,233809750

(im Bogenmaß)
Damit kann man mit der 2. Gleichung

h = r \cdot (1 - cos (\frac{α}{2}))

die Höhe

h

berechnen. Es ergibt sich

h = 41,657917386

Viele Grüße
Yokozuna

Bummerang

16:44 Uhr, 18.06.2013

Hallo,

warum einfach, wenn es auch umständlich geht...

PS: Mein Rechner in Windows ermittelt zu dem Winkel

α = 1,233809750

die Höhe

h = 41,657917401981176216979463684799

und nicht

41,657917386

Yokozuna aktiv_icon

17:17 Uhr, 18.06.2013

@Bummerang:

Das Urteil, ob Deine Excel-Rechnerei oder meine Iteration einfacher ist, überlasse ich anderen.

Mit anderen Iterationsverfahren

(z . B

. Newton) würde man sicher viel weniger Iterationen benötigen. Ich habe aber bewußt diese simple Iteration gewählt, weil sie sich leicht in einem GTR oder in Excel implementieren läßt. Wenn ein iteratives Verfahren zur Lösung des Problems zur Verfügung steht, dann würde ich dieses auf jedenfall Deiner, wie ich finde, unübersichtlichen Excel-Tabelle vorziehen.

Viele Grüße
Yokozuna

Bummerang

17:29 Uhr, 18.06.2013

Hallo Yokozuna,

das umständlich bezieht sich nicht auf die Art sondern darauf, dass erst das nicht weiter benötigte

α

ermittelt wird. Und was daran unübersichtlich ist, dass in der ersten Zeile diverse Näherungen für die Höhe mit den dazugehörgen Flächeninhalten in der Zeile darunter stehen, ist mir ein Rätsel!

Yokozuna aktiv_icon

18:36 Uhr, 18.06.2013

Mein lieber Bummerang,

1. Ich finde den Umweg über

α

gar nicht umständlich. Wie ich oben gezeigt habe, kann man für die Gleichung

A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (α - sin (α))

sehr einfach eine Iteration für die Berechnung von

α

herleiten. Man könnte natürlich auf die Berechnung von

α

verzichten und

z . B

. die von Dir verwendete Gleichung

A = r^{2} \cdot

arccos

(1 - \frac{h}{r}) - \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}} \cdot (r - h)

versuchen iterativ nach

h

aufzulösen. Ich denke, man sieht auf den ersten Blick, daß dies viel komplizierter ist, als bei der Gleichung für

α

. Bis ich die Iterationsgleichung für

h

fertig habe, habe ich das

α

für die erste Gleichung und damit auch das

h

schon längst berechnet.

2. "Und was daran unübersichtlich ist, dass in der ersten Zeile diverse Näherungen für die Höhe mit den dazugehörgen Flächeninhalten in der Zeile darunter stehen, ist mir ein Rätsel!"
Ich verstehe nicht, wo Du da diverse Näherungen für die Höhe mit den dazugehörgen Flächeninhalten siehst.

3. Mit

h = 41,657917401981176216979463684799

hast Du den Vogel abgeschossen. Ich habe die Iteration abgebrochen, nachdem sich die Anzeige für

α

in meinem GTR nicht mehr verändert hat. Das bedeutet, daß der letzte Wert von

α = 1,233809750

nur auf etwa

\pm 5 \cdot 10^{- 9}

genau ist. Mittels Fehlerrechnung ergibt sich damit für

h

eine absolute Genauigkeit von ca.

\pm 3 \cdot 10^{- 7}

. Im Rahmen dieser Genauigkeit ist mein Wert von

h = 41,657917386

ebenso genau wie Dein von Windows berechneter 30-stelliger Wert (von denen

23

Stellen völliger Unsinnig sind; ich habe wenigstens nur 2 unsinnige Stellen). Außerdem dürfte bei der Berechnung von

h

in mm bereits eine Genauigkeit von 2 Stellen nach dem Komma mehr als ausreichend sein.

Atlantik aktiv_icon

10:05 Uhr, 19.06.2013

Weg über das Integral:

x^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = 226^{2}

{(y - y_{M})}^{2} = 226^{2} - x^{2} | \sqrt{}

y_{1} = y_{M} + \sqrt{226^{2} - x^{2}},

wobei

y_{M} = \sqrt{226^{2} - b^{2}}

y_{1} = \sqrt{226^{2} - b^{2}} + \sqrt{226^{2} - x^{2}}

y_{2} = y_{M} - \sqrt{226^{2} - x^{2}}

Wird nicht gebraucht

7407,41 = 2 \cdot \int_{0}^{b} (\sqrt{226^{2} - b^{2}} + \sqrt{226^{2} - x^{2}}) \cdot d x

mfG

Atlantik

doast aktiv_icon

10:09 Uhr, 19.06.2013

DANKE für die Hilfe, hab die Näherungslösung von Yokozuna verwendet!

Ist für mich die eingängigste Variante. Was nicht heißen soll, dass andere nicht auch gut geeignet sind. Ist halt subjektives Empfinden meinerseits.

Bummerang

11:35 Uhr, 19.06.2013

Hallo Yokozuna,

speziell für Dich und natürlich auch für alle anderen, die die erste und zweite Zeile in meinem Anhang auch nicht gefunden haben!

PS: Ist leider etwas schmal geworden, aber zusätzliche Zeilen wollte ich da nicht noch mit aufnehmen, um nicht wieder an Übersichtlichkeit zu verlieren. Allein die Tabellenköpfe mit den Buchstaben habe ich noch mit aufgenommen, das erleichtert das Auffinden im Original...

1102103

1101962

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