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Berechnung des Kugelmittelpunkts aus 3 Punkten & r

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

s4muschu aktiv_icon

22:58 Uhr, 06.12.2023

Hallo,

Ich habe folgende Ausgangssituation:
Gegeben ist eine Kugel dessen Radius

\frac{1}{\sqrt{2}}

ist, sowie drei Punkte auf dem Rand der Kugel.
Gesucht ist der Mittelpunkt.

Ich würde das Problem gerne lösen indem ich, analog zu einem Kreis, Mittelsenkrechten verwende und durch den Schnittpunkt den Mittelpunkt bestimme.

Ich habe schon einige Überlegungen zu dieser Vorgehensweise angestellt, allerdings scheint für mich dieser Lösungsansatz unmöglich sobald durch die drei Punkte eine „schiefe Ebene“ im Raum entsteht. Somit sind die Mittelsenkrechten auch nicht mehr auf der selben Höhe und haben keinen Schnittpunkt.

Ich bin dankbar für jede Überlegung die mir bei diesem Lösungsansatz weiterhilft :-)

PS: ich weiß, dass es trivialere Lösungswege gibt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

00:15 Uhr, 07.12.2023

Allgemeine Kreisgleichung ( mit

r = \frac{1}{\sqrt{2}})

Setze 3 mal die Koordinaten der Punkte ein und berechne aus dem GS die Koordinaten des Mittelpunktes.

Randolph Esser aktiv_icon

03:09 Uhr, 07.12.2023

Dann nimm doch einen "trivialeren" Weg:

Seien

a, b, c \in R^{3}

paarweise verschieden

die gegebenen Punkte auf der Sphäre der Kugel mit Radius

r \in R

und Mittelpunkt

m \in R^{3}

. Dann gilt

| a - m | = | b - m | = | c - m | = r

.

Das liefert das GS

{(a_{1} - m_{1})}^{2} + {(a_{2} - m_{2})}^{2} + {(a_{3} - m_{3})}^{2} = {(b_{1} - m_{1})}^{2} + {(b_{2} - m_{2})}^{2} + {(b_{3} - m_{3})}^{2},

{(a_{1} - m_{1})}^{2} + {(a_{2} - m_{2})}^{2} + {(a_{3} - m_{3})}^{2} = {(c_{1} - m_{1})}^{2} + {(c_{2} - m_{2})}^{2} + {(c_{3} - m_{3})}^{2},

{(b_{1} - m_{1})}^{2} + {(b_{2} - m_{2})}^{2} + {(b_{3} - m_{3})}^{2} = {(c_{1} - m_{1})}^{2} + {(c_{2} - m_{2})}^{2} + {(c_{3} - m_{3})}^{2}

.

Damit (und mit

r)

sollte man die

m' s,

ja sogar eine allgemeine Formel dafür, bestimmen können.

Vielleicht steht sie ja sogar schon irgendwo auf Wikipedia oder so.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Natürlich kannst Du auch mit der Ebene

E := S p a n (b - a, c - a)

und dem Vektor

n := (b - a) \times (c - a)

operieren,

also damit ein Lot von der Ebene durch

m

konstruieren usw.

(a, b, c

bestimmen einen Kreis in

E

mit Mittelpunkt

m'

und die Gerade

g : R \to R^{3}, t \mapsto m' + t n

geht dann durch

m

.

Das GS oben liefert übrigens genau diese Gerade,

also treffen und vereinen sich Dein Vorhaben und

die von Dir verpönte "trivialere" Methode hier sowieso wieder.),

was mir aber eher noch umständlicher als die "triviale" Methode scheint.

Ich hab jetzt erstmal fertig, viel Spaß...

calc007

08:05 Uhr, 07.12.2023

Hallo

1 .)

solltest du dir klar machen:
Das Problem ist nicht eindeutig, sondern zwei-deutig.
Aus drei Punkten und einem Radius kannst du natürlich zwei Kugelmittelpunkte ermitteln, die symmetrisch zur Ebene liegen, die diese drei Punkte aufspannen.

2 .)

"...analog zu einem Kreis, Mittelsenkrechten..."
wäre gewiss leicht:
Du spannst 3 Ebenen auf

>

senkrecht zum Verbindungsvektor durch paarweise zwei der Punkte,

>

mittig zwischen den Punkten.
Alle Kugelmittelpunkte liegen auf der Schnittgeraden der Ebenen.
(vermutlich meint Kartoffelkäfer das mit seinen etwas eigenwilligen Worten.)

Randolph Esser aktiv_icon

17:39 Uhr, 07.12.2023

Was ich mit meinen Worten meine,
ist exakt das, was ich mit meinen Worten meine,
und ich denke nicht,
dass sie irgendwie misverständlich sind.
Aber es stimmt: Liegt der Kugelmittelpunkt nicht in

E,

d . h

. es gilt

| m' - a | \neq r,

so gibt es zwei Kugeln bzw.

m' s

Randolph Esser aktiv_icon

18:38 Uhr, 07.12.2023

Und bei jedem " Ich hab drei Punkte
und such die Mitte - Thread "
dauert es kosmische drei Sekunden,
bis irgendein Intelligenzknubbel
angeklotscht kommt mit
" Schneid doch einfach die drei Ebenen
(es reichen übrigens zwei),
die orthogonal zu jeweils einer
der Strecken ab, ac, bc sind und
diese eine mittig schneiden ".
What the fuck ist daran einfach
bzw. einfacher in der tatsächlichen
Umsetzung ?

s4muschu aktiv_icon

11:52 Uhr, 08.12.2023

Vielen Dank für eure Antworten! Ich wollte keinesfalls einen bestimmten Lösungsweg beleidigen

o

.ä. Tatsächlich habe ich die Aufgabe mit dem von Kartoffelkäfer intuitiven und vermutlich unkompliziertesten Weg gelöst.

Jedenfalls Danke für eure Beiträge.

Mein jetziger Stand ist, dass ich die Ebene habe und nun müsste ich im nächsten Schritt die "Mittelsenkrechten" berechnen. Schwierigkeit hier: Die Geraden müssen durch den Mittelpunkt gehen, in der Ebene liegen und orthogonal zur Verbindungsstrecke der einzelnen Punkte sein.

Mein Ansatz wäre: Ich setze die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und hoffe, dass ich später die Koordinaten des Richtungsvektors so bestimmen kann, dass die Gerade in der Ebene liegt und orthogonal zur Verbindungsstrecke(eher der Vektor von der Mitte der Strecke nach

P)

ist.

Randolph Esser aktiv_icon

18:50 Uhr, 08.12.2023

Bestimme

q_{1}, q_{2} \in R,

sodass

\frac{a + b}{2} + q_{1} v = \frac{a + c}{2} + q_{2} w = : m'

mit

v := (b - a) \times n, w := (c - a) \times n

.

Nun bestimme

q_{3},

sodass

| m' + q_{3} n - a | = r

(es gibt eventuell zwei

q_{3})

.

Dann gilt

m := m' + q_{3} n

.

Ob das nun weniger aufwendig ist

als die "triviale" Methode, hm...

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