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Berechnung des minimalen Abstands

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: euklidischer Abstand, Skalarprodukt

Codaky aktiv_icon

19:48 Uhr, 09.01.2015

Hallo, zusammen!

Ich habe nun schon einige Stunden an folgender Aufgabe gesessen, und bekomme sie einfach nicht gelöst (Betriebsblindheit nicht auszuschließen).

Gegeben sind

a = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 4 \end{array})

und

x (t) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array})

.
Hier soll nun der minimale euklidische Abstand bestimmt werden.

In der Theorie berechne ich also zuerst den euklidischen Abstand in Abhängigkeit von t, leite ab, setze 0 und bekomme das t heraus, das zum minimalen Abstand führt, was ich wiederum einsetze. Leider bekomme ich in der Praxis kein sinnvolles Ergebnis heraus.

Folgender Lösungsweg:

∣ ∣ a - x (t) ∣ ∣ = ∣ ∣ (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array}) ∣ ∣ = ∣ ∣ (\begin{array}{rcl} - 4 - t \\ 3 \end{array}) ∣ ∣ = \sqrt{(- 4 - t)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25 + 8 t + t^{2}}

Dies abgeleitet und nullgesetzt ergibt:

(25 + 8 t + t^{2})^{- 0, 5} = 0

Bis hierher muß aber schon irgendetwas falsch gelaufen sein, da sich dies ja schon nicht mehr lösen läßt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

19:55 Uhr, 09.01.2015

Du hast falsch abgeleitet.
Um nicht Wurzelfunktion ableiten zu müssen, kannst Du diese einfache Tatsache nutzen: der Abstand ist in demselben Punkt minimal, in welchem sein Quadrat minimal ist.

Femat aktiv_icon

20:15 Uhr, 09.01.2015

Ist es nicht viel banaler?
In deinem Titel steht Skalarprodukt.
Genau damit hab ich den Parameter und die Koordinaten von

F

berechnet.

Codaky aktiv_icon

20:20 Uhr, 09.01.2015

Hallo,

danke für die schnelle Antwort! Ich wüßte aber gern, wo ich falsch abgeleitet habe; im Einzelnen sieht das bei mir so aus:

Ausgang:

(25 + 8 t + t^{2})^{0, 5}

Ableitung:

0, 5 (25 + 8 t + t^{2})^{- 0, 5} * (8 + 2 t)

Das setze ich gleich Null :

0, 5 (25 + 8 t + t^{2})^{- 0, 5} * (8 + 2 t) = 0

Dann teile ich durch 0,5(8+2t):

(25 + 8 t + t^{2})^{- 0, 5} = 0

Wo liegt mein Fehler?

Femat aktiv_icon

20:36 Uhr, 09.01.2015

gibs mal in matheguru.com ein, da wird gerechnet und erklärt, Schritt für Schritt.

Femat aktiv_icon

20:41 Uhr, 09.01.2015

War der minimale Abstand eines Punktes von einer Geraden nicht schon als Abstand definiert oder umgkehrt?

Codaky aktiv_icon

20:47 Uhr, 09.01.2015

Ich habe es mit dem Ergebnis von Matheguru verglichen - aber dann ist meine Ableitung doch richtig?

PS: Also ich habe den Fehler jetzt gefunden, er lag immerhin nicht in der Ableitung! Danke euch für die Hilfe!

Femat aktiv_icon

20:53 Uhr, 09.01.2015

Ja hatte ich auch den Eindruck.
Aber warum willst unbedingt ableiten?
Mir scheint banal, dass ein Punkt mit y-Koordinate 4 von einer Geraden, die parallel oberhalb der x-Achse im Abstand 1 verläuft, den Abstand 3 hat .(siehe Geogebra-Zeichnung)

Codaky aktiv_icon

20:55 Uhr, 09.01.2015

Es sollte von der Aufgabe her einmal zeichnerisch und einmal über die Ableitung berechnet werden. Und da ich darüber eine Computer-Klausur schreiben muß, wird darin wahrscheinlich auch eher die rechnerische Lösung verlangt ;-)

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