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Berechnung von Drehmoment und Kraftresultante bei

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Tags: Matrizenrechnung, Sonstig, Vektorraum

AarZeon aktiv_icon

13:18 Uhr, 15.02.2025

Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an einem mechanischen Problem und würde gerne eure Expertise einholen. Es geht um folgende Situation:
Ich habe eine starre Platte, die durch drei Punkte im Raum definiert ist:

Punkt A (0, 25, -10)
Punkt B (21.65, -12.5, 3.5)
Punkt C (-21.65, -12.5, 13)

An diesen drei Punkten wirken folgende Kräfte in Richtung der z-Achse (0,0,1):

In A: 20N
In B: -5N
In C: 7N

*Nachträgliche Info:

An den Punkten A, B und C ist ein Kugelgelenk, somit ist die Platte gelagert.
Die Kugelgelenke können auf ihren respektive Achsen hin und her bewegen.

Die Achsen sind wie folgt Definiert: Achse für Kugel Gelenk A = A<->Zentrum, B = B<->Zentrum, C = C<->Zentrum.

Das Zentrum ist in diesem Beispiel bei folgenden Koordinate: [1.27499 -1.05256 2.39919]
*

Mein Ziel ist es:

Die resultierende Gesamtkraft zu bestimmen
Das resultierende Drehmoment zu berechnen
Der Drehpunkt zu bestimmen
Den Angriffspunkt der resultierenden Kraft zu ermitteln

Meine bisherigen Überlegungen:

Da die Platte nicht parallel zur xy-Ebene liegt, müssen die Normalkräfte und Gleitkräfte berücksichtigt werden
Der Cosinus-Effekt wird die effektiven Kraftkomponenten beeinflussen
Die Gleitkräfte könnten zusätzliche Drehmomente erzeugen

Zur besseren Veranschaulichung habe ich ein GeoGebra-Modell erstellt:
www.geogebra.org/3d/pdy7pss4
Das Modell zeigt die geometrische Situation, allerdings fehlen noch die Berechnungen und die Darstellung der wirkenden Kräfte.

Ich wäre froh, wenn wir die Aufgabe gemeinsam erarbeiten könnten und dabei klären, wie die Kräfte tatsächlich entstehen und wirken.

Vielen Dank schon im Voraus für eure Unterstützung!

Gruss
AarZeon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

16:51 Uhr, 16.02.2025

Hallo
Tipp: Vielleicht bietest du eine Skizze an, um diese vielen Worte ein klein wenig mehr in verstehen-können zu führen.
PS: auf einen Link (vielleicht geoGebra?) tippe ich hierzu nicht.
Dazu gibt's eigentlich Möglichkeiten, hier im Forum eine Skizze anschaulich zu machen.

Eine Antwort ist ja vermutlich sehr sehr simpel:
Resultierende aus

20 N - 5 N + 7 N = 22 N

AarZeon aktiv_icon

19:22 Uhr, 16.02.2025

Hallo

ich habe mal eine Skizze im Anhang angefügt.

Dazu eine Erklärung:

P1 in der Skizze ist Punkt A
P2 in der Skizze ist Punkt B
P3 in der Skizze ist Punkt C
Punkt M in der Skizze ist der Zentrum Punkt

Die Kraft A wirkt in Z-Richtung am prismatischem Gelenk Z1

Kraft B wirkt beim Gelenk Z3 und Kraft C beim Gelenk Z3

Und mein Problem ist die Achse um welche ein Drehmoment erzeugt zu berechnen und die grösse des Moments.

calc007

22:08 Uhr, 16.02.2025

Aus deinen bisherigen Beschreibungen wage ich folgende Vermutungen:
Du sprichst von einer 'starren Platte' und skizzierst aber zwei Dreiecke.
Ist das obere Dreieck um "M" die 'starre Platte', deren Verhalten wir untersuchen wollen?
Dann ist eventuell das untere Dreieck um "B" über

A_{1}, A_{2}, A_{3}

eine Auflagerung ohne Bedeutung??

Du sprichst von Kugelgelenken. Die wage ich in deiner Skizze zu identifizieren, bei den Positionen

P_{1}; P_{2}; P_{3}

.

Knapp darunter sind in deiner Skizze irgendwelche schiefwinkligen Andeutungen, ich nenne sie mal U-Taschen in denen 'Finger' gleiten (?). Sind das die 'respektiven Achsen' von denen du sprichst?

Dürfen wir für unsere Überlegungen annehmen, dass die Kugelgelenke räumlich praktisch auf den 'respektiven Achsen' liegen, ohne nennenswerte Abstände? Oder spielen die Abstände zwischen Kugelgelenken und 'respektiven Achsen' eine nicht vernachlässigbare Rolle?

Dann sprichst du von: "Die Achsen sind wie folgt (d)efiniert:".
Dazu hätte ich erst gerne eine eindeutigere Erklärung: Wie viel Freiheitsgrade haben die 'Finger' in den 'respektiven Achsen'?
Du deutest Gleit-Verhalten an,
...und benennst 2 von 3 Größen der 'respektiven Achsen'.
Haben die Finger zwei Freiheitsgrade um in irgendwelchen räumlich schiefen Ebenen sich zu bewegen?
Spielt Reibung eine Rolle? oder wird für unsere Dinge Reibung vernachlässigt?

Die 'respektiven Achsen', ich vermute Ebenen: Dann sind zwei Punkte, die du benennst, nicht ausreichend, Ebenen im Raum zu definieren. Ich vermute irgend eine Parallelität.... (?)

Schließlich skizzierst du unter den U-Finger -Gebilden wiederum U-Finger-Gebilde bei den Bezeichnern

Z_{1}; Z_{2}; Z_{3}

. Üblicherweise könnte man hierin Dämpfer verstehen. Sind das Dämpfer? Spielen die für unsere Untersuchungen eine Rolle?

AarZeon aktiv_icon

08:43 Uhr, 17.02.2025

Es tut mir leid, dass die Skizze nur verwirrend ist. Jedoch dachte ich, diese wäre universell verständlich, da dieser Aufbau überall so in der Fachliteratur aufgezeichnet wurde und ich dies kopiert habe.

Anbei habe ich eine Zeichnung gemacht und keine Skizze. Ich hoffe, diese hilft nun besser, das Problem zu verstehen.

Bei fragen bitte Melden.

calc007

09:55 Uhr, 17.02.2025

Aus diesen bisherigen Beschreibungen und neuen Skizzen wage ich also folgende Vermutungen:

Wir dürfen von Reib-Freiheit ausgehen.

Der Stern aus drei Halbrohren dürfen wir als starre Platte betrachten, und (näherungsweise) samt "Zentrum" als Ebene.

Die Kinematik zwischen Halbrohr-Platte und Kugeln definiert je zwei Freiheitsgrade pro Kugel, nämlich in radialer Richtung.
In Rohr-Achs-Richtung hingegen werden keine Kräfte übertragen.

Die drei z-Komponenten der Kräfte zwischen Halbrohr und Kugeln sind offensichtlich bekannt.

Gesucht sind wohl die

x -

und y-Komponenten.

Wenn wir das mal haben, können wir ja genauer verständigen, was du unter

>

"resultierende Gesamtkraft"

>

"resultierendes Drehmoment"

>

"Drehpunkt"

>

"Angriffspunkt der resultierenden Kraft"
verstehen magst.

AarZeon, gerne Bestätigung oder Korrektur soweit...

Wenn ich mal viel Zeit finde, will ich mich gerne mal näher damit auseinandersetzen.
Aber vielleicht findet ja ein anderer Helfer früher Muse und Beiträge...

AarZeon aktiv_icon

10:58 Uhr, 17.02.2025

Danke für das konstruktive Feedback:

Bezüglich der Reibung: Ja, wir vernachlässigen diese in unserer Betrachtung.

Zur Platte/Stern-Konstruktion: Sie haben Recht - es handelt sich um eine starre Rundplatte, die sich nicht verformt. Die Rohre dienen dabei als Führungen.

Zur Kinematik: Deine Beobachtung ist korrekt. Das Kugelgelenk ermöglicht Kraftübertragung in allen Orientierungen, mit zwei Freiheitsgraden pro Kugel in radialer Richtung.

Kraftübertragung in Rohr-Achsen-Richtung: Stimmt, unter der Annahme der Reibungsfreiheit werden hier keine Kräfte übertragen.

Zu den Kraftkomponenten: Eine wichtige Präzisierung - die Zylinder können zwar nur Kräfte in Z-Richtung ausüben, aber wenn eine externe Kraft auf den Stern wirkt, entstehen tatsächlich auch X- und Y-Komponenten an den Zylindern. Diese Berechnung wäre in der Tat interessant.

Ich habe hier ein Beispiel wo man sich mit der Vorstellungskraft die Drehachse ausarbeiten kann. JEdoch bin ich mir nicht 100% sicher.

Wenn B und C auf gleicher Z-Höhe liegen und keine Kraft ausüben
Zylinder A übt eine Kraft nach oben aus
Die resultierende Drehung erfolgt um die Achse durch B und C
Bei horizontaler Plattenlage ist die Berechnung relativ einfach, ansonsten müsste man bei diesem Setup den Cosinus-Effekt miteinbeziehen.

Nun möchte ich das Drehmoment und die resultiernde Achse bei Verschiedenen Z Positionen von A,B,C und diverse Zylinder Kräfte berechnen.

Ich hoffe das hilft weiter.

calc007

12:32 Uhr, 17.02.2025

...wenn du uns noch verraten wolltest, was wir nun unter "Zylinder" verstehen wollen.
Ich vermute, die Zylinder stehen unter den Kugelköpfen, präziser: die Kugelköpfe sind die Enden der Kolbenstangen.

Und,
"die Zylinder können zwar nur Kräfte in Z-Richtung ausüben"
Wenn ich recht ahne: Nein,
Die primäre Funktion ist die hydraulische Bewegung der Kugelköpfe und damit der Rohrsternplatte in z-Richtung.
Das mindert nichts daran, dass die Zylinder / Kolbenstangen / Kugelköpfe ggf- über Biegung ja auch

x - &

y-Kräfte übertragen müssen, um das System,

d . h

. die Rohrsternplatte bei Schrägstellung zu führen und die entstehenden Schrägkräfte zu übertragen.

AarZeon aktiv_icon

13:45 Uhr, 17.02.2025

Tut mir leid, das ist mir untergegangen, aber du hast Recht - es sind die Zylinderkörper unterhalb der Kugel. Und leider habe ich mich nicht präzise genug beschrieben: Die Zylinder können intrinsisch nur Kräfte in ihrer eigenen Achse ausüben, jedoch ist es korrekt, dass sie die Kräfte in den anderen Achsen auch übertragen müssen.

Ich hoffe, die Situation ist nun klarer.

calc007

10:48 Uhr, 18.02.2025

So, jetzt nach etwas Muse:
Eigentlich ist der erste Teil ja nicht allzu schwer.
Ich nutze "Z" für die Koordinaten deines 'Zentrums'.

Dann ist doch der Achs-Vektor deines ersten Führungsrohrs:

A \to Z = (\begin{matrix} 0 \\ 25 \\ - 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1,275 \\ - 1,0526 \\ 2,4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1,275 \\ 26,0526 \\ - 12,4 \end{matrix})

(gerundet, du darfst natürlich beliebig genau rechnen).

Dann ist doch der Achs-Vektor deines zweiten Führungsrohrs:

B \to Z = (\begin{matrix} 21,65 \\ - 12,5 \\ 3,5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1,275 \\ - 1,0526 \\ 2,4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20,4 \\ - 11,45 \\ 1,1 \end{matrix})

Dann ist doch der Achs-Vektor deines dritten Führungsrohrs:

C \to Z = (\begin{matrix} - 21,65 \\ - 12,5 \\ 13 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1,275 \\ - 1,0526 \\ 2,4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 22,9 \\ - 11,45 \\ 10,6 \end{matrix})

Nennen wir die Kraft-Komponenten in den Kugelgelenken

> A_{x}; A_{y}; A_{z}

> B_{x}; B_{y}; B_{z}

> C_{x}; C_{y}; C_{z}

Dann sind die Kräfte in den Führungspunkten doch senkrecht auf der Rohrachse:

(\begin{matrix} - 1,275 \\ 26,0526 \\ - 12,4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{matrix}) = 0

(\begin{matrix} 20,4 \\ - 11,45 \\ 1,1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} B_{x} \\ B_{y} \\ B_{z} \end{matrix}) = 0

(\begin{matrix} - 22,9 \\ - 11,4526 \\ 10,6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} C_{x} \\ C_{y} \\ C_{z} \end{matrix}) = 0

Daneben die Klassiker der Mechanik:

\sum F_{x} = 0; \sum M_{x} = 0

\sum F_{y} = 0; \sum M_{y} = 0

\sum F_{z} = 0; \sum M_{z} = 0

Hurra, neun (lineare) Gleichungen für neun Unbekannte

(A_{x}; . .

; C_{z})

\to

LGS
Herz was willst du mehr.

\to

ausrechnen...

AarZeon aktiv_icon

12:01 Uhr, 18.02.2025

Vielen Dank für deine Antwort.

Gibt mir nun einwenig mehr Anhaltspunkte, jedoch wie Du gesagt hast gibt es 9 Gleichungssysteme und davon sind 3 die für die Momente.

Jedoch bin ich mir nicht sicher wo diese Momente sich bilden, "Wo ist die Achse".

Könntest Du mir hierbei einen Tipp geben oder bin ich komplett auf dem Holzweg.

calc007

12:41 Uhr, 18.02.2025

\sum M_{x} = \sum y \cdot F_{z} - z \cdot F_{y}

\sum M_{y} = \sum z \cdot F_{x} - x \cdot F_{z}

\sum M_{z} = \sum x \cdot F_{y} - y \cdot F_{x}

AarZeon aktiv_icon

14:01 Uhr, 18.02.2025

Tut Mir leid, aber das sagt mir leider nichts.

Ich habe hier mal vereinfachte Werte genommen das ich danach auch die Achse überprüfen kann, da bei diesen Zahlen müsste die Dreh Achse durch BC gehen.

Gegeben ist:

A(0, 25, 10); Kraft an Punkt A = (0,0,20)

B(21.65, -12.5, 10); Kraft an Punkt B = (0,0,0)

C(-21.65, -12.5, 10); Kraft an Punkt C = (0,0,0)

Zentrum (0,0,10)

Vektor AZ = (0, 25, 0)

Vektor BZ = (21.65, -12.5, 0)

Vektor CZ = (-21.65, -12.5, 0)

Erste 3x Gleichungssystem

AZ * (Ax,Ay,Az)=0

BZ * (Bx,By,Bz)=0

CZ * (Cx,Cy,Cz)=0

Zweite 3x Gleichungssystem

∑Fx=0

∑Fy=0

∑Fz=0

Dritte 3x Gleichungssystem

∑Mx=∑y⋅Fz−z⋅Fy

∑My=∑z⋅Fx−x⋅Fz

∑Mz=∑x⋅Fy−y⋅Fx

Und weiter komme ich leider nicht... ausser wenn die Lösung wie folgt ist:

Solution:
Ax = -0.00, Ay = 0.00, Az = -20.00
Bx = 0.00, By = 0.00, Bz = -0.00
Cx = -0.00, Cy = 0.00, Cz = 0.00

calc007

16:12 Uhr, 18.02.2025

Dein erneuertes Beispiel

14 : 01 h

ist natürlich sehr, sehr ungeschickt.
Du hast alle z-Koordinaten

= 10

gewählt. Das ist waagrecht - und damit ein furchtbar unlehrsam nichtssagender Trivial-Fall.

Bleiben wir doch bei deinem ursprünglichen Zahlenbeispiel, und den Vektoren, die ich ja schon teils vorbereitet hatte.

Aus obigen Vektorgleichungen:

- 1,275 \cdot A_{x} + 26,05 \cdot A_{y} - 12,4 \cdot A_{z} = 0

20,4 \cdot B_{x} - 11,45 \cdot B_{y} + 1,1 \cdot B_{z} = 0

- 22,9 \cdot C_{x} - 11,45 \cdot C_{y} + 10,6 \cdot C_{z} = 0

\sum F_{x} = 0 = A_{x} + B_{x} + C_{x}

\sum F_{y} = 0 = A_{y} + B_{y} + C_{y}

\sum F_{z} = 0 = - 20 N + 5 N - 7 N + A_{z} + B_{z} + C_{z}

\sum M_{x} = 0 = \sum y \cdot F_{z} - z \cdot F_{y} = 25 \cdot (A_{z} - 20 N) - (- 10) \cdot A_{y} + (- 12,5) \cdot (B_{z} + 5 N) - 3,5 \cdot B_{y} + (- 12,5) \cdot (C_{z} - 7 N) - 13 \cdot C_{y}

\sum M_{y} = 0 = \sum z \cdot F_{x} - x \cdot F_{z} = - 10 \cdot A_{x} - 0 + 3,5 \cdot B_{x} - 21,65 \cdot (B_{z} + 5 N) + 13 \cdot C_{x} - (- 21,65) \cdot (C_{z} - 7 N)

\sum M_{z} = 0 = \sum x \cdot F_{y} - y \cdot F_{x} = 0 - 25 \cdot A_{x} + 21,65 \cdot B_{y} - (- 12,5) \cdot B_{x} + (- 21,65) \cdot C_{y} - (- 12,5) \cdot C_{x}

ohne Gewähr, bitte kontrollieren und deine Genauigkeits-Anforderungen umsetzen.

AarZeon aktiv_icon

17:22 Uhr, 18.02.2025

Also nach meinen Berechnung wäre die Lösung somit:

Ax = 27.571
Ay = 3.883
Az = 5.323
Bx = 0.077
By = 4.076
Bz = 41.003
Cx = -27.647
Cy = -7.959
Cz = -68.326

Nun bin ich mir nicht sicher wie ich mit diesen Werten auf den Drehpunkt kommen soll. Hier hätte ich einen Ansatz um das Drehmoment zu berechnen aber bitte prüfen ob diese Formeln Stimmen:

Ortsvektoren:

r_A = [x_A, y_A, z_A]
r_B = [x_B, y_B, z_B]
r_C = [x_C, y_C, z_C]

Kraftvektoren:

F_A = [Fx_A, Fy_A, Fz_A]
F_B = [Fx_B, Fy_B, Fz_B]
F_C = [Fx_C, Fy_C, Fz_C]

Einzelmomente durch Kreuzprodukt:

M_A = r_A × F_A = [
y_A·Fz_A - z_A·Fy_A,
z_A·Fx_A - x_A·Fz_A,
x_A·Fy_A - y_A·Fx_A
]
M_B = r_B × F_B = [
y_B·Fz_B - z_B·Fy_B,
z_B·Fx_B - x_B·Fz_B,
x_B·Fy_B - y_B·Fx_B
]
M_C = r_C × F_C = [
y_C·Fz_C - z_C·Fy_C,
z_C·Fx_C - x_C·Fz_C,
x_C·Fy_C - y_C·Fx_C
]

M_total = M_A+M_B+M_C

Drehachse = M_total / |M_total|

Somit wäre dies hier das Drehmoment und die Achsrichtung.

Einzelne Momente:
Moment an Punkt A: [ 171.905 -275.71 -689.275]
Moment an Punkt B: [-526.8035 -887.44545 89.2079 ]
Moment an Punkt C: [ 957.542 -1838.6689 -173.27515]

Gesamtmoment:
Vektor: [ 602.6435 -3001.82435 -773.34225]
Betrag: 3157.8769532678493

Drehachse (normalisierter Vektor):
Richtung: [ 0.19083818 -0.95058306 -0.24489309]

Nun weis ich aber nicht wie man die Effektive Achse im 3D definiert.

calc007

17:50 Uhr, 18.02.2025

Ich hab's nicht nachgerechnet, denn Kontrolle ist einfach, und gewiß viel mehr bei dir als bei irgendwem im Netz.

Und nochmals:
Wenn wir zu Dingen wie
"Drehpunkt"
"Drehmoment"
"Einzelmoment"
"Drehachse"
"M_total"
vertiefende Unterstützung leisten sollten, dann solltest du dir selbst und dann ggf. uns noch klar machen, was du darunter verstehen willst.

AarZeon aktiv_icon

18:43 Uhr, 18.02.2025

Ich habe hier eine Skizze von meinem Ungünstig gewählter Situation, das alle Z = 10 sind und nur A eine Kraft ausübt.

Somit dreht sich die Platte um die Achse die durch BC geht.

Bei anderen Inputs kann man es mit dieser Methode nicht ausrechnen.

calc007

09:48 Uhr, 19.02.2025

Wenn du einen Apfel auf einen Tisch legst, dann

>

drückt der Apfel mit seiner Gewichtskraft den Tisch nach unten,

>

drückt der Tisch den Apfel mit der Reaktionskraft nach oben
und alles ist im statischen Gleichgewicht.
Da dreht sich nix,
da rührt sich nix,
da bewegt sich nix,
da zuckt sich nix.

Auch deine bisherigen Beschreibungen der starren Platte sind statische Beschreibungen.
Alle Kräfte sind nötig, richtig und angemessen, um statisches Gleichgewicht zu halten.
Da dreht sich nix,
da rührt sich nix,
da bewegt sich nix,
da zuckt nix.
Hier von einem Drehpunkt oder von einer Drehachse zu sprechen macht doch erst Sinn, wenn du auch beschreibst, welche Drehbewegung du im Sinn hast.

AarZeon aktiv_icon

10:09 Uhr, 19.02.2025

Ich verstehe Dich jedoch mit diesen anliegenden Kräften ist die Kinematik nicht im gleichgewicht. Nun möchte ich berechnen um welche Achse ich wie viel Drehmoment anlegen muss, dass die Kinematik im Gleichgewicht ist.

Da mit den gegebenen Kräfte würde sich die Platte bewegen.

Thorstenata aktiv_icon

21:34 Uhr, 20.02.2025

Offenbar hatte die Platte andere Pläne! Aber im Ernst, man könnte versuchen, das Trägheitsmoment zu bestimmen und das Moment zu berechnen, um die Bewegungen zu kompensieren

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