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Berechnung von Gini-Koeffizienten

Universität / Fachhochschule

Tags: Statistik

shrekker

13:19 Uhr, 22.03.2022

Im folgenden muss ich den Gini-Koeffizient berechnen. Grundsätzlich habe ich auch verstanden wie das geht, allerdings sind die Werte welche in meiner Tabelle gegeben sind mir ein wenig unklar.
Die Tabelle;

nj:11,7,3
x̄:1,2,5

Ich habe jeweils nur immer die Mittelwerte gegeben, wie berechne ich nun die kumulierten Wahrscheinlichkeiten? Die absolut Werte habe ich ja mit

n

gegeben aber wie komme ich jetzt auf fj und Fj?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:41 Uhr, 22.03.2022

Eigentlich hat Gini wenig mit W-keiten zu tun.
Die Formel ist

G = \frac{2 \sum_{i = 1}^{n} i y_{i}}{n \sum_{i = 1}^{n} y_{i}} - \frac{n + 1}{n}

, wobei

y_{i}

die Datenpunkte sind, aufsteigend sortiert.
Deine Datenpunkte sind

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5

Bestimmt gibt's auch eine einfachere Formel für mehrfach vorkommende Werte.

shrekker

14:05 Uhr, 22.03.2022

Hallo,

deinen Ansatz mit den Datensätzen verstehe ich absolut, aber die Formel die du dort verwendet hast ist mir unbekannt und ich verstehe sie auch nicht so ganz. Anbei habe ich einen Screenshot angeheftet mit der Formel die wir zur Berechnung verwenden sollen, vielleicht ist diese dir ja auch bekannt. Ich komme mit dieser Formel aber auch nicht auf das richtige Ergebnis.
Mein Ansatz war wie habe ich auch hochgeladen,
Die Lösung lautet im übrigen 0.3238, falls du selber es ausprobieren möchtest.

viele Grüße

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 22.03.2022

"Anbei habe ich einen Screenshot angeheftet mit der Formel die wir zur Berechnung verwenden sollen, vielleicht ist diese dir ja auch bekannt. Ich komme mit dieser Formel aber auch nicht auf das richtige Ergebnis."

Du verwendest sie falsch.

h_{i}

steht nicht für relative Häufigkeit des Werts

i

. Die Formel ist (wie dort auch steht) für Individualdaten, nicht für kumulierte.
Also musst du sie auf die Reihe 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5 anwenden, dabei ist

h_{i}

nichts anderes als

\frac{x_{i}}{\sum_{i} x_{i}}

(mit

x_{i} = 1, 2

oder

5

), also in deinem Fall sind es Werte

\frac{1}{40}, \frac{2}{40}

und

\frac{5}{40}

.

Also musst du das berechnen:

\sum_{i = 1}^{21} h_{i} \frac{2 i - 22}{21} = \frac{1}{40} \sum_{i = 1}^{11} \frac{2 i - 22}{21} + \frac{2}{40} \sum_{i = 12}^{18} \frac{2 i - 22}{21} + \frac{5}{40} \sum_{i = 19}^{21} \frac{2 i - 22}{21}

Die Formel kann man z.B. hier finden:
www.statsdirect.com/help/nonparametric_methods/gini_coefficient.htm

shrekker

16:23 Uhr, 22.03.2022

Gut alles klar, vielen dank ich habe es jetzt verstanden.
Das war eine Aufgabe aus der Klausur aus dem letzten mal und dafür, dass diese Aufgabe so viel Schreibarbeit ist gibt sie gerade einmal 3 Punkte :/
Naja kann man wohl nichts machen.

Viele grüße

HAL9000

14:45 Uhr, 23.03.2022

Off-topic (oder vielleicht auch nicht, da ja Wahrscheinlichkeiten angesprochen wurden)

Was mir gerade beim Durchlesen des Wiki-Artikels zu Gini-Koeffizient aufgefallen ist:

Die verwenden dort den Begriff "Gleichverteilung" in einem Sinne, welcher nicht der stochastischen Bedeutung dieses Begriffes entspricht, sondern meinen damit die Einpunkt-Verteilung (auch Dirac-Maß genannt) - das ist ja was völlig anderes!

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