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Berührpunkte und Tangentengleichungen errechnen?

Universität / Fachhochschule

Polynome

Funktionen

Tags: Berührung, Tangentengleichungq

DwarfDa aktiv_icon

13:42 Uhr, 13.01.2017

Hallo zusammen, ich übe gerade mit meinem Bruder für seinenKlausur. Hauptthema: Ableitungen. Ich bin daleider selber schon raus, deshalb frage ich jetzt mal

min

forum nach. Sollte relativ simpel erscheinen meine ich. Hier die Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen

f (x) = x^{2} + x

und

g (x) = 1 + x^{3}

a

. Berechnen Sie, an welchen Stellen die Funktion

g (x)

die Steigung

m = 12

hat.

b

. Zeigen sie rechnerisch, dass sich die Funktionen

f (x)

und in einem gemeinsamen Punkt berühren und berechnen Sie den Berührpunkt.

c

. Bestimmen Die die gemeinsame Tangente von

f (c)

und

g (x)

Danke im Voraus.
Gruß!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Ginso aktiv_icon

13:57 Uhr, 13.01.2017

Also, ihr solltet euch nochmal durchlesen, was genau eine Ableitung ist:

Die Ableitung von

f

ist die Funktion die jedem

x

-Wert, die Steigung von

f

bei

x

zuordnet.
Also zum Beispiel hat

f

bei

x = 5

die Steigung

f ʹ (5)

.
Was bedeutet jetzt z.B. "

f

hat bei 5 die Steigung 3

" ?

Nun das heißt, wenn man den Punkt sucht der den x-Wert 5 hat und auf

f

liegt, also (5,f(5)) und an diesem Punkt eine Tangente an

f

anlegt, dann hat diese die Steigung 3.

Die Frage a kann man also so umformulieren:

Finde die

x

-Werte für die gilt

g ʹ (x) = 12

.
Wie man g'(x) bestimmt, ist bekannt, oder?

Ich schreib gleich noch was zu b und c

supporter aktiv_icon

13:59 Uhr, 13.01.2017

a) g' (x) = 12

b)

Es muss gelten:

f (x) = g (x)

und

f' (x) = g' (x)

c)

Tangentengleichung:

y = (x - x_{0}) \cdot f' (x_{0}) + f (x_{0})

x_{0}

ist die Berührstelle aus

b)

DwarfDa aktiv_icon

14:21 Uhr, 13.01.2017

Vielen Dank. Also

x = 6

Ginso aktiv_icon

14:23 Uhr, 13.01.2017

Zu b
Also wir suchen einen Punkt, der sowohl auf g, als auch auf f liegt, d.h. einen

x

-Wert, für den gilt

f (x) = g (x)

. Da kann es durchaus mehrere geben. Tipp: die Gleichung umformen und eine Seite komplett subtrahieren sodass da

. . . = 0

steht.
Eine Lösung sieht man hier sehr schnell. Per Polynomdivision findet man dann den Rest.

Nun gilt es jeweils zu überprüfen, ob das ein Schnitt- oder Berührpunkt ist. Im Falle eines Berühpunkts muss die entweder f oder g sowohl direkt vor als auch direkt danach größer sein als die andere. Also müsste

f (x) - g (x)

direkt davor und direkt danach das gleiche Vorzeichen haben(in dem Punkt selber ist die Differenz natürlich 0). Also muss

f (x) - g (x)

dort einen Hoch- oder Tiefpunkt haben. Wie überprüfen wir das? Indem wir testen, ob die Ableitung von

f (x) - g (x)

für dieses

x_{1}

genau 0 ergibt. Wenn nicht, dann haben wir hier einen Schnittpunkt von f und g, aber keinen Berührpunkt.
Wenn ja, dann haben wir entweder einen Extrempunkt oder einen Sattelpunkt.
Aus Extrempunkt würde folgen dass sich f und g hier berühren, aus Sattelpunkt würde folgen, dass sie sich schneiden. Wie können wir das unterscheiden? Mit der 2. Ableitung von

f (x) - g (x)

im Falle eines Sattelpunkts ist diese nämlich 0 und im Falle eines Extrempunkts nicht.
Zusammenfassend lässt sich also sagen: f und g berühren sich bei

x

, wenn

f (x) = g (x)

, die erste Ableitung von

(f - g)

für dieses

x_{1}

0 ergibt und die zweite nicht.

zu c:
Wie schon gesagt hat ist die Ableitung von

f - g

in einem solchen Berührpunkt 0. Die Ableitung von

f - g

ist ja

f ʹ - g ʹ

. Wenn also gilt

f ʹ (x_{1}) - g ʹ (x_{1}) = 0

dann folgt daraus

f ʹ (x_{1}) = g ʹ (x_{1})

, also erhalten wir in diesem Punkt die gleiche Tangente an beiden Funktionen. Eine Tangente ist eine Gerade, hat also die Form

y = m x + c

. Das

m

ist die Steigung der Tangente, wie wir die bekommen, ahb ich vorhin erklärt. fehlt noch das

c

. dazu benutzen wir, dass wir bereits ein Punkt kennen, der auf der Tangente liegt, nämlich der Berührpunkt

(x_{1}, f (x_{1}))

, es muss also gelten

f (x_{1}) = m x_{1} + c

, hier kennen wir alles außer c und müssen nur noch nach diesem auflösen

Ginso aktiv_icon

14:27 Uhr, 13.01.2017

x=6 ist leider falsch, du hast vermutlich falsch abgeleitet

DwarfDa aktiv_icon

14:36 Uhr, 13.01.2017

Ups hab die Funktionen verwechselt... Ableitungd von

g (x)

ist ja dann

3 x^{2},

dann kommt für

x = 2

und

- 2

oder?

DwarfDa aktiv_icon

14:38 Uhr, 13.01.2017

Sorry, ich bin für heute mit meiner Konzentration am Ende. Könntest du

b

und

c

etwas knapper formulieren oder mir einen kleinen Anstupser geben?

DwarfDa aktiv_icon

14:42 Uhr, 13.01.2017

Supporter könntest du mir vielleicht nochmal weiterhelfen?

Ginso aktiv_icon

14:43 Uhr, 13.01.2017

also, a hast du jetzt richtig(übrigens wäre 6 auch bei

f

falsch gewesen).

nochmal zu b:
Finde erstmal die gemeinsamen punkte, also alle Lösungen für

f (x) = g (x)

DwarfDa aktiv_icon

14:48 Uhr, 13.01.2017

Ginso, ich sags dir wie es ist. Bin gerade total ratlos. Eine Lösung wäre hilfreich damit wir uns das herleiten könnten.

supporter aktiv_icon

15:49 Uhr, 13.01.2017

a)

g' (x) = 12

3 x^{2} = 12

x^{2} = 4

x = \pm 2

b)

x^{2} + x = 1 + x^{3}

x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0

Polynomdivision, 1. Nullstelle raten,

x = 1

ist Nullstelle:

x^{3} - x^{2} - x + 1 : (x - 1) = . .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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