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Beschränkte Folge in L^p ohne konvergente Teilfolg

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

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20:12 Uhr, 24.11.2014

Hallo,
Kann mir jemand eine beschränkte Folge

(f_{k})_{k \in ℕ}

L^{p} (Ω)

sagen, die keine punktweise (fast überall) konvergente Teilfoge besitzt?

Außerdem habe ich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe. Man soll zeigen:
Zu jeder Cauchyfolge

(f_{k})_{k \in ℕ}

L^{p} (Ω)

gibt es eine Teilfolge

(f_{k_{l}})_{l \in ℕ}

und ein

f \in L^{p} (Ω)

, so dass

f_{k_{l}} \to f

punktweise fast überall.

Ich habe mir einfach gedacht, dass

L^{p} (Ω))

ja vollständig ist und somit

(f_{k})

L^{p} (Ω)

konvergiert, gegen eine Funktion f. Also auch jede Teilfolge.
Ich glaub aber nicht, dass das richtig ist. Wo ist mein Denkfehler?

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:29 Uhr, 25.11.2014

"Kann mir jemand eine beschränkte Folge

(f_{k}) k \in ℕ \in L_{p} (Ω)

sagen, die keine punktweise (fast überall) konvergente Teilfoge besitzt? "

Es kommt auf

Ω

an. Was ist über

Ω

bekannt?

"Ich habe mir einfach gedacht, dass

L_{p} (Ω)

ja vollständig ist und somit

(f_{k})

L_{p} (Ω)

konvergiert, gegen eine Funktion f. Also auch jede Teilfolge."

Konvergiert in

L_{p}

. Das heißt nicht, dass sie punktweise konvergiert.
Hier kommt es aber wieder auf

Ω

an.

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14:04 Uhr, 25.11.2014

Ω

ist

\subset ℝ^{n}

und messbar sind die einzigen Voraussetzungen.

DrBoogie aktiv_icon

14:24 Uhr, 25.11.2014

"Kann mir jemand eine beschränkte Folge (fk)k∈ℕ in Lp(Ω) sagen, die keine punktweise (fast überall) konvergente Teilfoge besitzt?"

Z.B.

\cos (n x) e^{- x^{2}}

- eindimensional, in mehreren Dimensionen etwas in der Art basteln.
Die Exponente kann entfallen, wenn

Ω

beschränkt ist.

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13:00 Uhr, 27.11.2014

Es reicht also aus das alles für cos(nx) auf einem beschränkten Gebiet zu zeigen. Wie zeige ich, dass cos(nx) keine konvergente Teilfolge hat?

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13:09 Uhr, 27.11.2014

Ich weiß es nicht, es scheint mir auch richtig hart zu sein. Ich habe auch nach dem Beweis ein paar Stunden im Netz gesucht und nichts gefunden. Es ist relativ leicht zu zeigen, dass

\cos (n x)

keine

L_{p}

-konvergente Teilfolge hat. Aber punktweise ist was Anderes.

Vielleicht ist es besser, nach anderen Funktionen zu suchen.
z.B. hier in der Aufgabe 43 gibt's ein interessantes Beispiel:
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~schueller/ft/blatt11.pdf
Aber das kann man nicht so direkt verwenden, es muss noch irgendwie angepasst werden.

Sorry, das ist wirklich eine Knochenaufgabe, im Vorbeigehen nicht zu erledigen, und viel Zeit für eine richtige Analyse habe ich nicht.

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