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Beschränktheit einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beschränktheit, Folgen, Reihen

blacki aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.04.2010

Hallo

ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn
ich komme einfach nicht mehr weiter.
wir müssen verschiedene folgen auf Konvergenz untersuchen.
es geht um die Aufgabe

1 c)

eine folge ist konvergent, wenn sie

a)

Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent.

b)

Jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist konvergent.

desweiteren ist jede konvergente Folge beschränkt.

Die Aufgabenstellung verwirrt mich ein bisschen.
Ich habe von jemandem die Lösung gesehen und er hat das mit den Rechenregeln für Limes gelöst
(Summen-, Produkt-, Differenzfolge)
Dabei betrachtet man ja die einzelnen Elemente der Folge und leitet daraus den Grenzwert ab.
Hat man den Grenzwert, dann hat man auch gezeigt, dass die Folge konvergent ist.

Ich habe die Aufgabenstellung aber so verstanden:
Untersuche zunächst die Folge auf Monotonie und Beschränktheit.
Gilt beides, so ist die Folge konvergent und man kann versuchen einen Grenzwert zu bestimmen.

Das habe ich auch so gemacht.
Nun bin ich bei Aufgabe

1 c

hängen geblieben.
Bei Monotonie habe ich eine wahre Aussage erhalten.
Nun muss ich nur noch Beschränktheit zeigen.
Anhand der Folge sieht man sofort, dass sie zwar monoton steigend

(< -

konnte ich zeigen) ist, aber nicht beschränkt, weil der Zählergrad

>

Nennergrad ist und sie im Endeffekt divergent ist.

Nun habe ich versucht die Bedingung für Beschränktheit anzuwenden

c_{n}

≤

S

Am Ende sollte man doch eine falsche Aussage erhalten:

Egal welches

S

ich nehme
es wird immer ein

n

geben, für das die Folge

c_{n} > S

ist.

Hier mein Versuch:

\frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1} \leq S

Multipliziere mit

(2 n^{2} + 1)

n^{3} + n - 1 \leq S (2 n^{2} + 1)

n^{3} + n - 1 \leq 2 \cdot S \cdot n^{2} + S)

Hier bin ich stecken geblieben, weil die Aussage für bestimmte

n

und

S

ja gültig ist und somit im Endeffekt mal wahre und mal falsche Aussagen liefert.
Ist denn mein Ansatz soweit richtig?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben.
Ich bin grad echt am verzweifeln.
Man könnte das ja mit den Limesrechenregeln zeigen, aber ich will es unbedingt so zeigen, weil ich dadurch im Endeffekt mehr lerne. Auch wenn der Ansatz jetzt falsch ist.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

arrow30

17:49 Uhr, 24.04.2010

hallo,
eine folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat.
nun zur Folge

\frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1} < n^{3} + n - 1 < n^{3} + n \to \infty

von oben nicht beschränkt !
andererseits

\to \frac{n^{3}}{2 n^{2} + n^{2}} = \frac{2}{3} n < \frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1}

@Edit besser gesagt

: \infty \leftarrow \frac{2}{3} n < a_{n} < n^{3} + n \to \infty

es folgt also

lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty

@Edit2 pwmeyer hat natürlich Rechts du sollst die Folge von beiden Seiten mit devirgierten Folgen beschränken . und auch die Abschätzung

\frac{2}{3} n

war falsch

\frac{1}{3} n

ist die richtige

blacki aktiv_icon

17:55 Uhr, 24.04.2010

Hast du das jetzt mit Abschätzen gelöst?

Das Abschätzen verstehe ich noch nicht ganz.

Ist mein Ansatz jetzt komplett falsch?

pwmeyer aktiv_icon

18:10 Uhr, 24.04.2010

Hallo,

der erste Schluss von Arrow ist falsch: Wenn man eine Folge

(a_{n})

nach oben durch

(b_{n})

abschätzt, kann man aus der Untersuchung von

(b_{n})

nicht schließen, dass

(a_{n})

unbeschränkt ist. Sonst wäre ja jede Folge unbeschränkt

(z . B . a_{n} = \frac{1}{n} < n)

Die Abschätzung

\frac{2}{3} \cdot n < a_{n}

ist falsch, setze mal

z . B . n = 3

ein.

Eine (hoffentlich) richtige Abschätzung ist

z . B . :

a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{2 \cdot n^{2} + 1} \geq \frac{n^{3}}{2 \cdot n^{2} + n^{2}} = \frac{1}{3} \cdot n

Zur Aufgabe allgemein: Wenn Grenzwerte zu bestimmen sind, dann sollte man zunächst versuchen, die Ausdrücke mit den einschlägigen Sätzen für Summe, Produkt etc zu untersuchen.

Gruß pwm

arrow30

18:11 Uhr, 24.04.2010

du willst es ja auch auf die schwierige Art lösen,
also dein Ansatz ist es anzunehmen ,dass die Folge von oben beschränkt ist und anschließend zu zeigen das es ein solch

N

gibt mit

a_{N} > S

,was zu einem Widerspruch führt , ok

a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1} < s

nun wenn man den Nenner verkleinert und den Zähler vergrößert , vergrößert man

a_{n}

(stimmt es ? )

a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1} < \frac{n^{3} + n + n}{2 n^{2} - n^{2}} = \frac{n^{3} + 2 n}{n^{2}} = \frac{n^{2} + 2}{n} < \frac{n^{2} + n}{n} = n + 1 \to n + 1

wäre also eine obere Schranke ,die allerdings nicht beschränkt ist

. .

blacki aktiv_icon

19:14 Uhr, 24.04.2010

Abschätzen ist für mich noch Neuland.
Wir rechnen ja mit Ungleichungen.
Das heißt ich darf die linke bzw. rechte Seite beliebig manipulieren, solange die Ungleichung erfüllt ist.

Jetzt bei dieser Aufgabe versuche ich die Folge

c_{n}

einzuengen, indem ich sowas mache:

KLEINER

\leq c_{n} \leq

GRÖßER

linke Seite:

c_{n}

beliebig verändern, aber es muss

\leq

Mitte sein.

rechte Seite umgekehrt.

Ist das so richtig?

Wieso versucht man in diesem Beispiel

c_{n}

mit divergenten Folgen einzuengen?
Gibt es irgendwelche Regeln fürs Abschätzen?

arrow30

19:28 Uhr, 24.04.2010

hallo blacki das einfachste ist den Grenzwert ganz normal zu ermitteln !

lim_{n \to \infty} \frac{n^{3} + n - 1}{2 n^{2} + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty

blacki aktiv_icon

19:43 Uhr, 24.04.2010

Ja

so dürfte es kein Problem sein.

Man muss dann diesen Satz hier anwenden (siehe Anhang)

Nun komme ich mit den Definitionen durcheinander.

Bevor man so vorgeht muss man doch die Konvergenz zeigen, oder kann man mit diesem Verfahren die Konvergenz zeigen?

arrow30

19:58 Uhr, 24.04.2010

wie gesagt

\to

eine folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. finde den Grenzwert und du hast den Konvergenz gezeigt !

blacki aktiv_icon

20:03 Uhr, 24.04.2010

Dankeschön!

Jemand hat mir nämlich was anderes erzählt.

Ich muss erst zeigen das sie Konvergent ist und dann den Grenzwert berechnen...hmm

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