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Beschrankt, abgeschlossen, aber nicht Kompakt?!

Universität / Fachhochschule

Tags: abgeschlossen, Beschränkt, kompakt, metrischer Raum

 
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XeroHD

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19:55 Uhr, 28.04.2019

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Wie ist es möglich, dass eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge A⊆X eines metrischen Raumes X nicht kompakt ist?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:06 Uhr, 28.04.2019

Antworten
Hallo,
versieh eine unendliche Menge, z.B. X:=ℤ mit der diskreten Metrik.
Dann ist X abgeschlossen und beschränkt, da X⊆B2(0),
wobei B2(0) die offene Kugel mit Radius 2 um 0 herum ist.
X ist aber nicht kompakt, da die offene Überdeckung
X⊆⋃x∈X{x} von X keine endliche Teilüberdeckung
besitzt.
Gruß ermanus