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Differentiation

Tags: Bestand, Differentiation, Integralrechnung, sachzusammenhang

 
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lena023

lena023 aktiv_icon

22:01 Uhr, 26.04.2025

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Hallo!
Ich habe eine Frage zu einer Textaufgabe. Es ist eine Funktion gegeben, die die momentane Änderungsrate der zur Zeit t mit einer ansteckenden Krankheit infizierten Menschen beschreibt.
In einer Teilaufgabe soll man bestimmen, wieviele Menschen sich nach 7 Tagen angesteckt haben.
Normalerweise löse ich die Aufgabe ja mit dem Integral (zwischen 0 und 7).
Theoretisch könnte ich aber doch auch f(1)+f(2)+....+f(7) berechnen... oder nicht?
Es kommt aber nicht derselbe Wert raus. Kann mir jemand erklären, warum ich nicht die einzelnen Funktionswerte addieren kann? Wo ist der Unterschied?

VG
Lena
Online-Nachhilfe in Mathematik
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mathadvisor

mathadvisor aktiv_icon

23:41 Uhr, 26.04.2025

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Poste mal die Aufgabenstellung im Original, vollständig (am besten als Foto).
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KL700

KL700 aktiv_icon

06:07 Uhr, 27.04.2025

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"Theoretisch könnte ich aber doch auch f(1)+f(2)+....+f(7) berechnen... oder nicht?"

Nein, das sind einzelne Funktionswerte.
Gesucht ist die Fläche unter der Funktion f(x), die die Änderungsrate angibt.
Die Ansteckung verläüft nicht diskret, sondern kontinuierlich/stetig.
Zudem gibt die Änderungsrate nur die momentane Zunahme zu einem bestimmten Zeitpunkt an.

Berechen daher:

F(x)=∫07f(x)dx
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Roman-22

Roman-22

11:48 Uhr, 27.04.2025

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> Theoretisch könnte ich aber doch auch f(1)+f(2)+....+f(7) berechnen
Kannst du - du musst dir nur im Klaren darüber werden, was genau du damit dann berechnest.
So wie du das angibst hätte dein Ergebnis ja die Einheit InfizierteTag. Das macht wenig Sinn, aber du könntest jeden einzelnen Summanden mit der Differenz " 1Tag " zwischen deinen betrachteten Zeitpunkten multiplizieren. Damit erhältst du dann eine grobe Näherung der Infiziertenanzahl →∑x=17(f(x)⋅Δx) mit Δx=1Tag.
Mathematisch gesehen wäre diese Rechnung dann die Näherung des bestimmten Integrals durch die sog. Obersumme.

Dein Denkfehler ist, dass du meinst, f(1) wäre die Anzahl der Infizierten am ersten Tag, oder genauer die Anzahl der Neuinfizierten während des ersten Tages.
Abgesehen davon, dass du f(1)⋅1Tag rechnen müsstest, wäre das nur dann richtig, wenn die Infektionsrate f(x) während des gesamten ersten Tages über konstant wäre, also zB f(0)=f(0,2)=f(0,6)=f(1) und erst beim Übergang auf den nächsten Tag auf einen anderen Wert springt.
Das wird aber bei deiner Funktion vermutlich nicht der Fall sein. Die Infektionsrate wird in jedem Moment eine andere sein.
Du könntest deine Näherung genauer machen, indem du zB f(0,5)⋅12Tag+f(1)⋅12Tag+f(1,5)⋅12Tag+.... rechnest. Also mit einem kleineren Δx und dafür aber mehr Summanden.
Und ganz genau wirds dann erst mit einem infinitesimal kleinen Δx (Δx→0) und dafür unendlich vielen Summanden, womit wird dann aber eben beim bestimmten Integral ∫07f(x)dx gelandet sind ;-)

@KL700
Dein F(x)=∫07f(x)dx ist Unfug! Dein F(x) ist keine von x abhängige Funktion, sondern ein konstanter Wert!
Entweder lässt du das " F(x) " weg und ersetzt es durch einen Variablennamen, der die Anzahl der Infizierten innerhalb der ersten sieben Tagen bezeichnen soll, oder aber, wenn du mit Gewalt eine Integralfunktion einführen willst, du definierst F(x):=∫0xf(ξ)dξ und gibst das gesuchte Ergebnis mit F(7) an.
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