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Bestandsfunktion-Änderungsrate
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis, Änderungsrate, Bestandsfunktion
 
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Hallo! Mich beschäftigt immer wieder die Frage, wenn ich mir Aufgaben zur Analysis angucke: Habe ich eine Bestandsfunktion vor mir (also eine Fkt, die angibt, wie viel es von etwas gibt oder wie hoch etwas ist in Relation zu einer Zeit oder habe ich eine (momentane) Änderungsrate? Woran erkenne ich das, wenn es nicht explizit in der Aufgabenstellung genannt wird? Beispiel: Die Funktion . gibt näherungsweise die Herzfrequenz eines Sportlers ( In Schläge pro Minute) an, wobei die Zeit in Minuten seit Beginn des Trainings angibt. Hier würde ich sagen, dass die Funktion eine Änderung angibt, da in ja sozusagen schon die Zeit mit drin ist (Schläge pro Minute).. Aber ist das wirklich richtig so? (Gehen wir mal davon aus, dass es richtig ist..)Muss ich dann in den weiteren Teilaufgaben, in denen gefragt wird, wann die Herzfrequenz am höchsten war (Hochpunkt), die Funktion dann schon als eine Ableitung betrachten und diese dann gleich 0 setzen, statt sie wie gewohnt abzuleiten und dann gleich null zu setzen usw? Ein weiteres Beispiel, wo ich sagen würde, dass die Funktion den Bestand angibt, ist bei folgender Definition: in Stunden seit der Einnahme und in mg/l (bei der Konzentration eines Medikamentes im Blut) Lange Rede, kurzer Sinn: Woran erkenne ich, was ich vorliegen habe (Ableitung oder Bestandsfunktion)? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen ;-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, es gibt kein Patentrezept. Erforderlich sind - wie man es auch nennen mag - Intelligenz, Auffassungsgabe, Textverständnis, Allgemeinbildung (vielleicht auch nur: gesunder Menschenverstand") ... Zum konkreten Beispiel: Mit etwas Allgemeinbildung weiß man, dass bei unmittelbarer Belastung die Pulsfrequenz hoch ist und danach mit der Zeit langsam wieder "bis zum Normalmaß" abnimmt. Ich lese aus deinem Text "Die Funktion f(x)=.. gibt näherungsweise die Herzfrequenz eines Sportlers ( In Schläge pro Minute) an, wobei x die Zeit in Minuten seit Beginn des Trainings angibt" dass die Funktion f angibt, wie hoch die Frequenz zu verschiedenen Zeiten IST. Sollte sich herausstellen, dass die Funktion ab einer gewissen Zeit monoton fällt, dann weiß man, dass die Herzfrequenz dann abnimmt. Wie schnell sie das tut, würde die erste Ableitung für jeden beliebigen Zeitpunkt angeben. |
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Vielen Dank für deine Antwort. Ich dachte, dass eine Bestandsfunktion mit (lediglich) die Schläge angeben würde und mit die Minuten.. Und nicht schon die Schläge pro Minute bei . Irgendwie denke ich dann sofort an eine Änderungsrate. Ein anderes Beispiel: Die Abkühlung einer Tasse Kaffee wird durch die Funktion beschrieben ist die Zeit in Minuten und die Temperatur in °C nach Minuten). Also habe ich hier eine Funktion die mir angibt, wie heiß der Kaffee zu einer bestimmten Zeit ist (Bestandsfunktion), oder nicht? Das Wort "Abkühlung" ist an dieser Stelle nur etwas verwirrend. Und auch die Tatsache, dass man bei der zweiten Aufgabe, wo nach der "Geschwindigkeit der Temperaturabnahme °C pro Minute nach einer Minute gefragt ist, nicht die Ableitungsfunktion zum Rechnen verwendet, sondern . Die GESCHWINDIGKEIT müsste doch die erste Ableitung sein, oder nicht? Tut mir Leid, aber ich berufe mich jetzt einfach mal auf den Satz: Es gibt keine doofen Fragen :-D) Edit: Ich muss mich korrigieren: Bei der Kaffee-Aufgabe sollte man auch die erste Ableitung verwenden, mein Fehler! Ich denke, dass ich dann weiterhin so verfahren muss wie bisher: Nachdenken und hoffen, dass es richtig ist. Noch eine Frage am Rande: Falls ich eine Bestandsfunktion haben sollte und KEINE Änderungsrate, und nun nach dem Bestand zwischen a und gefragt ist, sprich ich ein Integral berechnen muss, was gibt mir die Stammfunktion dann an? Könnte ich nicht theoretisch auch als Stammfunktion meine Bestandsfunktion nehmen, eben WEIL sie ja den Bestand angibt und ich nicht integrieren muss? Oder bin ich hier auf einem völlig falschen Weg? Ich erkenne die Logik nämlich nicht darin, eine Bestandsfunktion zu integrieren, um den Bestand innerhalb eines Zeitraumes auszurechnen. Hätte ich eine Funktion der Änderungsrate, erklärt es sich für mich von selbst, sie vorher zu integrieren. |
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Deine Fragen sind keineswegs doof! Viele Schüler haben große Probleme damit. Ich möchte jetzt gar nicht auf die konkreten Beispiele eingehen. Vielleicht hilft ja die Betrachtung der Einheiten in den verschiedenen Funktionen: Ein Beispiel: Auf der x-Achse haben wir oft die Zeit sagen wir in der Einheit Sekunden . Wenn jetzt die Funktion auf der y-Achse beispielsweise die Einheit Meter hat, dann hat dort die Einheit die Einheit die Einheit und die Stammfunktion die Einheit . Beim Ableiten wird also immer durch die Einheit auf der x-Achse dividiert. Ich finde, dass das bei der Orientierung helfen kann, welche der Funktionen man nehmen muss. (In meinem Beispiel braucht man wenn es um eine Strecke geht, wenn es um eine Geschwindigkeit geht, wenn es um eine Beschleunigung geht.) |
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Danke für die Hilfe! Und das sieht doch schonmal gut aus, ist auf jeden Fall nachzuvollziehen! Eine Frage bleibt jedoch noch: Was sagt die Stammfunktion denn genau aus? Also was bedeutet dann das ? Meter mal Sekunde klingt irgendwie nicht ganz logisch.. |
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Ja richtig, mein Beispiel ist in diesem Teil nicht mehr besonders anschaulich! Es ging nur darum, das Prinzip zu erklären. ist ja im Endeffekt auch nichts anderes als eine Stammfunktion von . Und meinen Tipp bitte nicht überbewerten. Aber im Zweifelsfall kann die Betrachtung der Einheiten vielleicht helfen! |
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Hallo Nicht für jede Funktion hat die Stammfunktion unbedingt eine Bedeutung. aber wenn du etwa an die Herzschläge deines sportlers denkst gibt die Stammfunktion etwa die Gesamtmeenge der herzschläge in Minuten an. Wenn du die Geschwindigkeit eines Autos gegenüber der Zeit aufträgst gibt dir die Stammfunktion von a bis den Weg an, den es in der Zeit zurückgelegt hat. Oft will man auch den durchschnittlichen Bestand in einer Periode zwischen a und kennen, dann dividiert man durch du musst dir das integrieren einfach als Aufsummieren kleiner intervalle vorstellen, dann sieht man ,ob es für die spezielle funktion Sinn macht oder nicht. der CO_2 Ausstoß steigt von Jahr zu jahr, das kann man als funktion beschreiben. daraus dann mit dem Integral wieviel wir in den letzten jahren oder den jahren davor usw. produziert haben, Wenn du deinen Geldverbrauch pro Tag als funktion schreibst kannst du dann über Tage integrieren und rauskriegen, was du so pro Jahr verbrauchst. Gruß ledum |
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