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Bestimme S so, dass S^-1AS Diagonalmatrix ist

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Diagonalisierkeit, Diagonalmatrix

Dru79 aktiv_icon

12:47 Uhr, 25.09.2008

Es sei

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix})

a)

Begründe , dass A über

R

diagonalisierbar ist.
A ist genau dann diagonalisierbar, sofern es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.

b)

Bestimme ein

S \in M (2, ℝ),

so dass

S^{- 1}

AS eine Diagonalmatrix ist.

Eigenwerte bestimmen:

det (\begin{matrix} 1 - t & 1 \\ 1 & 4 - t \end{matrix}) = 3 - 5 t - t^{2}

pq-Formel...

t_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}

und

t_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}

Eigenvektoren bestimmen:
für

t_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}

(\begin{matrix} 1 - t_{1} & 1 \\ 1 & 4 - t_{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = 0

\to (1 - t_{1}) \cdot x_{1} + 1 x_{2} = 0 \to x_{2} = (t_{1} - 1) x_{1}

Also ist für beliebiges

x_{1}

aus

ℝ

v_{t_{1}} = x_{1} (\begin{matrix} 1 \\ t_{1} - 1 \end{matrix})

für

t_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}

(\begin{matrix} 1 - t_{1} & 1 \\ 1 & 4 - t_{1} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = 0

\to (1 - t_{1}) \cdot x_{1} + 1 x_{2} = 0 \to x_{2} = (t_{1} - 1) x_{1}

Also ist für beliebiges

x_{2}

aus

ℝ

v_{t_{1}} = x_{1} (\begin{matrix} 1 \\ t_{1} - 1 \end{matrix})

\to S = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ t_{1} - 1 & t_{2} - 1 \end{matrix})

Eigenwerte einsetzen:

S = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} - 1 & \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} - 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} & \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2} \end{matrix})

D = S^{- 1}

AS

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

13:53 Uhr, 25.09.2008

Hallo wieder =)

a)
Wir berechnen zunächst das charakteristische Polynom (I ist die Einheitsmatrix):

P_{A} (x) = d e t (A - x \cdot I)

Davon bestimmst du dann die Nullstellen, dies sind die EW, du bekommst zwei Eigenwerte heraus. Zu jedem Eigenwert gibt es mindestens einen Eigenvektor und damit hat der Eigenraum mindestens die Dimension 1.
Eigenräume sind disjunkt, d.h. der einzige Vektor, der in jedem Eigenraum liegt, ist der 0-Vektor.
Im

ℝ^{2}

bedeutet das, dass die Eigenräume zwei Geraden durch den Ursprung sind. Du wählst jeweils einen Eigenvekor aus, dies ist dann eine Basis des

ℝ^{2}

, die sogenannte Eigenbasis. Nennen wir diese

v_{1}

und

v_{2}

.
Es gilt folgender Satz:
Eine Matrix A der Form

ℝ^{n \times n}

ist diagonalisierbar

\Leftrightarrow

Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A

b)
S wird anschließend definiert als

S = (v_{1} v_{2})

, da die Vektoren linear unabhängig sind, ist S auch invertierbar und du kannst

S^{- 1}

bestimmen. Wenn du dann deine Multiplikation durchführst, bekommst du tatsächlich eine Diagonalmatrix heraus.

anonymous

13:53 Uhr, 25.09.2008

Ach so, kannst du mir auch einen Tip geben? Wie kann ich hier eine Matrix eingeben?

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